Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29714 / 13681
↖ ↑ ↗
← N 71.772223°
W 16.776123°		 ← 191.05 m → N 71.772223°
W 16.770630°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
N 71.770505°
W 16.776123°		 ← 191.07 m →
36 505 m²		 N 71.770505°
W 16.770630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453407287597656 y=0.208763122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453407287597656 × 216)
    floor (0.453407287597656 × 65536)
    floor (29714.5)     		tx = 29714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208763122558594 × 216)
    floor (0.208763122558594 × 65536)
    floor (13681.5)     		ty = 13681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29714 / 13681 ti = "16/29714/13681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29714/13681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29714 ÷ 216
    29714 ÷ 65536     		x = 0.453399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13681 ÷ 216
    13681 ÷ 65536     		y = 0.208755493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453399658203125 × 2 - 1) × π
    -0.09320068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29279858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208755493164062 × 2 - 1) × π
    0.582489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82994320609602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29279858} λ = -0.29279858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82994320609602))-π/2
    2×atan(6.23353262181809)-π/2
    2×1.41172896373785-π/2
    2.8234579274757-1.57079632675     		φ = 1.25266160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29279858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.776123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25266160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.772223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29714 KachelY 13681 -0.29279858 1.25266160 -16.776123 71.772223
    Oben rechts KachelX + 1 29715 KachelY 13681 -0.29270271 1.25266160 -16.770630 71.772223
    Unten links KachelX 29714 KachelY + 1 13682 -0.29279858 1.25263161 -16.776123 71.770505
    Unten rechts KachelX + 1 29715 KachelY + 1 13682 -0.29270271 1.25263161 -16.770630 71.770505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25266160-1.25263161) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dl = 191.066290000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25266160-1.25263161) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dr = 191.066290000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29279858--0.29270271) × cos(1.25266160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312795431025378 × 6371000     		do = 191.051623782175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29279858--0.29270271) × cos(1.25263161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312823916002074 × 6371000     		du = 191.06902205757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25266160)-sin(1.25263161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312795431025378-0.312823916002074)×R²
    abs(-0.29270271--0.29279858)×2.84849766966633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.84849766966633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.84849766966633e-05×40589641000000     		ar = 36505.1870691474m²