Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29713 / 42996
↖ ↑ ↗
← S 48.879167°
W 16.781616°		 ← 401.73 m → S 48.879167°
W 16.776123°		 →
↑
401.69 m
↓
↑
401.69 m
↓
S 48.882780°
W 16.781616°		 ← 401.70 m →
161 364 m²		 S 48.882780°
W 16.776123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453392028808594 y=0.656074523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453392028808594 × 216)
    floor (0.453392028808594 × 65536)
    floor (29713.5)     		tx = 29713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656074523925781 × 216)
    floor (0.656074523925781 × 65536)
    floor (42996.5)     		ty = 42996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29713 / 42996 ti = "16/29713/42996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29713/42996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29713 ÷ 216
    29713 ÷ 65536     		x = 0.453384399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42996 ÷ 216
    42996 ÷ 65536     		y = 0.65606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453384399414062 × 2 - 1) × π
    -0.093231201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29289446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.3121337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.980597218627869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29289446} λ = -0.29289446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980597218627869))-π/2
    2×atan(0.375087022989719)-π/2
    2×0.358846962215662-π/2
    0.717693924431324-1.57079632675     		φ = -0.85310240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29289446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.781616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85310240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.879167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29713 KachelY 42996 -0.29289446 -0.85310240 -16.781616 -48.879167
    Oben rechts KachelX + 1 29714 KachelY 42996 -0.29279858 -0.85310240 -16.776123 -48.879167
    Unten links KachelX 29713 KachelY + 1 42997 -0.29289446 -0.85316545 -16.781616 -48.882780
    Unten rechts KachelX + 1 29714 KachelY + 1 42997 -0.29279858 -0.85316545 -16.776123 -48.882780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85310240--0.85316545) × R
    6.30499999999534e-05 × 6371000     		dl = 401.691549999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85310240--0.85316545) × R
    6.30499999999534e-05 × 6371000     		dr = 401.691549999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29289446--0.29279858) × cos(-0.85310240) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.657649201166332 × 6371000     		do = 401.725987853473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29289446--0.29279858) × cos(-0.85316545) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.657601702760932 × 6371000     		du = 401.696973382237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85310240)-sin(-0.85316545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657649201166332-0.657601702760932)×R²
    abs(-0.29279858--0.29289446)×4.74984054005256e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.74984054005256e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.74984054005256e-05×40589641000000     		ar = 161364.107355736m²