Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29713 / 41278
↖ ↑ ↗
← S 42.285437°
W 16.781616°		 ← 451.91 m → S 42.285437°
W 16.776123°		 →
↑
451.90 m
↓
↑
451.90 m
↓
S 42.289501°
W 16.781616°		 ← 451.88 m →
204 209 m²		 S 42.289501°
W 16.776123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453392028808594 y=0.629859924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453392028808594 × 216)
    floor (0.453392028808594 × 65536)
    floor (29713.5)     		tx = 29713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629859924316406 × 216)
    floor (0.629859924316406 × 65536)
    floor (41278.5)     		ty = 41278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29713 / 41278 ti = "16/29713/41278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29713/41278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29713 ÷ 216
    29713 ÷ 65536     		x = 0.453384399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41278 ÷ 216
    41278 ÷ 65536     		y = 0.629852294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453384399414062 × 2 - 1) × π
    -0.093231201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29289446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629852294921875 × 2 - 1) × π
    -0.25970458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.815886031533356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29289446} λ = -0.29289446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815886031533356))-π/2
    2×atan(0.442247308655519)-π/2
    2×0.416388112693382-π/2
    0.832776225386763-1.57079632675     		φ = -0.73802010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29289446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.781616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73802010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.285437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29713 KachelY 41278 -0.29289446 -0.73802010 -16.781616 -42.285437
    Oben rechts KachelX + 1 29714 KachelY 41278 -0.29279858 -0.73802010 -16.776123 -42.285437
    Unten links KachelX 29713 KachelY + 1 41279 -0.29289446 -0.73809103 -16.781616 -42.289501
    Unten rechts KachelX + 1 29714 KachelY + 1 41279 -0.29279858 -0.73809103 -16.776123 -42.289501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73802010--0.73809103) × R
    7.09300000000246e-05 × 6371000     		dl = 451.895030000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73802010--0.73809103) × R
    7.09300000000246e-05 × 6371000     		dr = 451.895030000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29289446--0.29279858) × cos(-0.73802010) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.739802133094222 × 6371000     		do = 451.909227907989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29289446--0.29279858) × cos(-0.73809103) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.739754407791688 × 6371000     		du = 451.880074836303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73802010)-sin(-0.73809103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739802133094222-0.739754407791688)×R²
    abs(-0.29279858--0.29289446)×4.77253025340518e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77253025340518e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77253025340518e-05×40589641000000     		ar = 204208.94712434m²