Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29713 / 29765
↖ ↑ ↗
← S 81.209818°
E146.436768°		 ← 186.69 m → S 81.209818°
E146.447754°		 →
↑
186.67 m
↓
↑
186.67 m
↓
S 81.211497°
E146.436768°		 ← 186.65 m →
34 846 m²		 S 81.211497°
E146.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906784057617188 y=0.908370971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906784057617188 × 215)
    floor (0.906784057617188 × 32768)
    floor (29713.5)     		tx = 29713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908370971679688 × 215)
    floor (0.908370971679688 × 32768)
    floor (29765.5)     		ty = 29765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29713 / 29765 ti = "15/29713/29765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29713/29765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29713 ÷ 215
    29713 ÷ 32768     		x = 0.906768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29765 ÷ 215
    29765 ÷ 32768     		y = 0.908355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906768798828125 × 2 - 1) × π
    0.81353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55580374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908355712890625 × 2 - 1) × π
    -0.81671142578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56577461526389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55580374} λ = 2.55580374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56577461526389))-π/2
    2×atan(0.076859621740709)-π/2
    2×0.0767088090471688-π/2
    0.153417618094338-1.57079632675     		φ = -1.41737871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55580374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.436768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41737871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.209818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29713 KachelY 29765 2.55580374 -1.41737871 146.436768 -81.209818
    Oben rechts KachelX + 1 29714 KachelY 29765 2.55599549 -1.41737871 146.447754 -81.209818
    Unten links KachelX 29713 KachelY + 1 29766 2.55580374 -1.41740801 146.436768 -81.211497
    Unten rechts KachelX + 1 29714 KachelY + 1 29766 2.55599549 -1.41740801 146.447754 -81.211497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41737871--1.41740801) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dl = 186.670300000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41737871--1.41740801) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dr = 186.670300000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55580374-2.55599549) × cos(-1.41737871) × R
    0.000191749999999935 × 0.152816493811895 × 6371000     		do = 186.68662688793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55580374-2.55599549) × cos(-1.41740801) × R
    0.000191749999999935 × 0.152787537887045 × 6371000     		du = 186.651253193613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41737871)-sin(-1.41740801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152816493811895-0.152787537887045)×R²
    abs(2.55599549-2.55580374)×2.89559248497218e-05×R²
    0.000191749999999935×2.89559248497218e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.89559248497218e-05×40589641000000     		ar = 34845.5470405378m²