Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29711 / 29771
↖ ↑ ↗
← S 81.219885°
E146.414795°		 ← 186.47 m → S 81.219885°
E146.425781°		 →
↑
186.48 m
↓
↑
186.48 m
↓
S 81.221563°
E146.414795°		 ← 186.44 m →
34 770 m²		 S 81.221563°
E146.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906723022460938 y=0.908554077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906723022460938 × 215)
    floor (0.906723022460938 × 32768)
    floor (29711.5)     		tx = 29711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908554077148438 × 215)
    floor (0.908554077148438 × 32768)
    floor (29771.5)     		ty = 29771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29711 / 29771 ti = "15/29711/29771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29711/29771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29711 ÷ 215
    29711 ÷ 32768     		x = 0.906707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29771 ÷ 215
    29771 ÷ 32768     		y = 0.908538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906707763671875 × 2 - 1) × π
    0.81341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55542024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.81707763671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56692510085477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55542024} λ = 2.55542024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56692510085477))-π/2
    2×atan(0.0767712467002289)-π/2
    2×0.0766209524145516-π/2
    0.153241904829103-1.57079632675     		φ = -1.41755442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55542024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.414795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41755442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.219885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29711 KachelY 29771 2.55542024 -1.41755442 146.414795 -81.219885
    Oben rechts KachelX + 1 29712 KachelY 29771 2.55561199 -1.41755442 146.425781 -81.219885
    Unten links KachelX 29711 KachelY + 1 29772 2.55542024 -1.41758369 146.414795 -81.221563
    Unten rechts KachelX + 1 29712 KachelY + 1 29772 2.55561199 -1.41758369 146.425781 -81.221563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41755442--1.41758369) × R
    2.92699999999702e-05 × 6371000     		dl = 186.47916999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41755442--1.41758369) × R
    2.92699999999702e-05 × 6371000     		dr = 186.47916999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55542024-2.55561199) × cos(-1.41755442) × R
    0.000191749999999935 × 0.152642845241123 × 6371000     		do = 186.474490978169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55542024-2.55561199) × cos(-1.41758369) × R
    0.000191749999999935 × 0.152613918178626 × 6371000     		du = 186.439152543235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41755442)-sin(-1.41758369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152642845241123-0.152613918178626)×R²
    abs(2.55561199-2.55542024)×2.89270624971305e-05×R²
    0.000191749999999935×2.89270624971305e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.89270624971305e-05×40589641000000     		ar = 34770.3133652684m²