Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29711 / 17987
↖ ↑ ↗
← N 62.747181°
W 16.792602°		 ← 279.69 m → N 62.747181°
W 16.787109°		 →
↑
279.75 m
↓
↑
279.75 m
↓
N 62.744665°
W 16.792602°		 ← 279.71 m →
78 247 m²		 N 62.744665°
W 16.787109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453361511230469 y=0.274467468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453361511230469 × 216)
    floor (0.453361511230469 × 65536)
    floor (29711.5)     		tx = 29711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274467468261719 × 216)
    floor (0.274467468261719 × 65536)
    floor (17987.5)     		ty = 17987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29711 / 17987 ti = "16/29711/17987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29711/17987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29711 ÷ 216
    29711 ÷ 65536     		x = 0.453353881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17987 ÷ 216
    17987 ÷ 65536     		y = 0.274459838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453353881835938 × 2 - 1) × π
    -0.093292236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29308620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274459838867188 × 2 - 1) × π
    0.451080322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4171106265681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29308620} λ = -0.29308620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4171106265681))-π/2
    2×atan(4.12518400707746)-π/2
    2×1.33297061265645-π/2
    2.66594122531291-1.57079632675     		φ = 1.09514490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29308620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.792602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09514490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.747181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29711 KachelY 17987 -0.29308620 1.09514490 -16.792602 62.747181
    Oben rechts KachelX + 1 29712 KachelY 17987 -0.29299033 1.09514490 -16.787109 62.747181
    Unten links KachelX 29711 KachelY + 1 17988 -0.29308620 1.09510099 -16.792602 62.744665
    Unten rechts KachelX + 1 29712 KachelY + 1 17988 -0.29299033 1.09510099 -16.787109 62.744665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09514490-1.09510099) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dl = 279.750610000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09514490-1.09510099) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dr = 279.750610000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29308620--0.29299033) × cos(1.09514490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.457917659208003 × 6371000     		do = 279.69050591127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29308620--0.29299033) × cos(1.09510099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.457956694519882 × 6371000     		du = 279.714348202364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09514490)-sin(1.09510099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457917659208003-0.457956694519882)×R²
    abs(-0.29299033--0.29308620)×3.90353118789877e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90353118789877e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90353118789877e-05×40589641000000     		ar = 78246.9246003623m²