Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2971 / 3974
↖ ↑ ↗
← N 67.558948°
W114.719238°		 ← 932.66 m → N 67.558948°
W114.697266°		 →
↑
932.84 m
↓
↑
932.84 m
↓
N 67.550559°
W114.719238°		 ← 932.99 m →
870 174 m²		 N 67.550559°
W114.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.181365966796875 y=0.242584228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.181365966796875 × 214)
    floor (0.181365966796875 × 16384)
    floor (2971.5)     		tx = 2971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242584228515625 × 214)
    floor (0.242584228515625 × 16384)
    floor (3974.5)     		ty = 3974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2971 / 3974 ti = "14/2971/3974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2971/3974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2971 ÷ 214
    2971 ÷ 16384     		x = 0.18133544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3974 ÷ 214
    3974 ÷ 16384     		y = 0.2425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.18133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.6373291015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.00222842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2425537109375 × 2 - 1) × π
    0.514892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61758274077917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00222842} λ = -2.00222842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61758274077917))-π/2
    2×atan(5.04089043847686)-π/2
    2×1.37496120427024-π/2
    2.74992240854047-1.57079632675     		φ = 1.17912608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00222842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17912608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.558948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2971 KachelY 3974 -2.00222842 1.17912608 -114.719238 67.558948
    Oben rechts KachelX + 1 2972 KachelY 3974 -2.00184493 1.17912608 -114.697266 67.558948
    Unten links KachelX 2971 KachelY + 1 3975 -2.00222842 1.17897966 -114.719238 67.550559
    Unten rechts KachelX + 1 2972 KachelY + 1 3975 -2.00184493 1.17897966 -114.697266 67.550559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17912608-1.17897966) × R
    0.000146420000000091 × 6371000     		dl = 932.841820000583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17912608-1.17897966) × R
    0.000146420000000091 × 6371000     		dr = 932.841820000583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00222842--2.00184493) × cos(1.17912608) × R
    0.000383489999999931 × 0.381732710487368 × 6371000     		do = 932.655004089358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00222842--2.00184493) × cos(1.17897966) × R
    0.000383489999999931 × 0.381868038412682 × 6371000     		du = 932.985639277985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17912608)-sin(1.17897966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381732710487368-0.381868038412682)×R²
    abs(-2.00184493--2.00222842)×0.000135327925313955×R²
    0.000383489999999931×0.000135327925313955×6371000²
    0.000383489999999931×0.000135327925313955×40589641000000     		ar = 870173.808168855m²