Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2971 / 3787
↖ ↑ ↗
← N 69.076412°
W114.719238°		 ← 872.53 m → N 69.076412°
W114.697266°		 →
↑
872.70 m
↓
↑
872.70 m
↓
N 69.068563°
W114.719238°		 ← 872.84 m →
761 590 m²		 N 69.068563°
W114.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.181365966796875 y=0.231170654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.181365966796875 × 214)
    floor (0.181365966796875 × 16384)
    floor (2971.5)     		tx = 2971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231170654296875 × 214)
    floor (0.231170654296875 × 16384)
    floor (3787.5)     		ty = 3787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2971 / 3787 ti = "14/2971/3787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2971/3787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2971 ÷ 214
    2971 ÷ 16384     		x = 0.18133544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3787 ÷ 214
    3787 ÷ 16384     		y = 0.23114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.18133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.6373291015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.00222842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23114013671875 × 2 - 1) × π
    0.5377197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68929634261078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00222842} λ = -2.00222842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68929634261078))-π/2
    2×atan(5.41566858885648)-π/2
    2×1.38820357166838-π/2
    2.77640714333675-1.57079632675     		φ = 1.20561082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00222842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20561082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.076412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2971 KachelY 3787 -2.00222842 1.20561082 -114.719238 69.076412
    Oben rechts KachelX + 1 2972 KachelY 3787 -2.00184493 1.20561082 -114.697266 69.076412
    Unten links KachelX 2971 KachelY + 1 3788 -2.00222842 1.20547384 -114.719238 69.068563
    Unten rechts KachelX + 1 2972 KachelY + 1 3788 -2.00184493 1.20547384 -114.697266 69.068563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20561082-1.20547384) × R
    0.000136979999999953 × 6371000     		dl = 872.699579999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20561082-1.20547384) × R
    0.000136979999999953 × 6371000     		dr = 872.699579999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00222842--2.00184493) × cos(1.20561082) × R
    0.000383489999999931 × 0.357122574639081 × 6371000     		do = 872.527156200924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00222842--2.00184493) × cos(1.20547384) × R
    0.000383489999999931 × 0.357250518488506 × 6371000     		du = 872.839750506129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20561082)-sin(1.20547384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357122574639081-0.357250518488506)×R²
    abs(-2.00184493--2.00222842)×0.000127943849425383×R²
    0.000383489999999931×0.000127943849425383×6371000²
    0.000383489999999931×0.000127943849425383×40589641000000     		ar = 761590.484405524m²