Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29709 / 29769
↖ ↑ ↗
← S 81.216531°
E146.392822°		 ← 186.55 m → S 81.216531°
E146.403809°		 →
↑
186.54 m
↓
↑
186.54 m
↓
S 81.218208°
E146.392822°		 ← 186.51 m →
34 795 m²		 S 81.218208°
E146.403809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906661987304688 y=0.908493041992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906661987304688 × 215)
    floor (0.906661987304688 × 32768)
    floor (29709.5)     		tx = 29709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908493041992188 × 215)
    floor (0.908493041992188 × 32768)
    floor (29769.5)     		ty = 29769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29709 / 29769 ti = "15/29709/29769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29709/29769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29709 ÷ 215
    29709 ÷ 32768     		x = 0.906646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29769 ÷ 215
    29769 ÷ 32768     		y = 0.908477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906646728515625 × 2 - 1) × π
    0.81329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55503675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.81695556640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56654160565781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55503675} λ = 2.55503675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56654160565781))-π/2
    2×atan(0.0768006937506435)-π/2
    2×0.0766502268603369-π/2
    0.153300453720674-1.57079632675     		φ = -1.41749587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55503675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.392822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41749587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.216531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29709 KachelY 29769 2.55503675 -1.41749587 146.392822 -81.216531
    Oben rechts KachelX + 1 29710 KachelY 29769 2.55522850 -1.41749587 146.403809 -81.216531
    Unten links KachelX 29709 KachelY + 1 29770 2.55503675 -1.41752515 146.392822 -81.218208
    Unten rechts KachelX + 1 29710 KachelY + 1 29770 2.55522850 -1.41752515 146.403809 -81.218208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41749587--1.41752515) × R
    2.92799999999094e-05 × 6371000     		dl = 186.542879999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41749587--1.41752515) × R
    2.92799999999094e-05 × 6371000     		dr = 186.542879999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55503675-2.55522850) × cos(-1.41749587) × R
    0.000191749999999935 × 0.152700708856495 × 6371000     		do = 186.545179441854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55503675-2.55522850) × cos(-1.41752515) × R
    0.000191749999999935 × 0.152671772172846 × 6371000     		du = 186.509829253344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41749587)-sin(-1.41752515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152700708856495-0.152671772172846)×R²
    abs(2.55522850-2.55503675)×2.89366836488114e-05×R²
    0.000191749999999935×2.89366836488114e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.89366836488114e-05×40589641000000     		ar = 34795.3778627092m²