Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29709 / 21486
↖ ↑ ↗
← N 76.196796°
W 98.401794°		 ← 72.86 m → N 76.196796°
W 98.399048°		 →
↑
72.88 m
↓
↑
72.88 m
↓
N 76.196141°
W 98.401794°		 ← 72.86 m →
5 310 m²		 N 76.196141°
W 98.399048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226665496826172 y=0.163928985595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226665496826172 × 217)
    floor (0.226665496826172 × 131072)
    floor (29709.5)     		tx = 29709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163928985595703 × 217)
    floor (0.163928985595703 × 131072)
    floor (21486.5)     		ty = 21486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29709 / 21486 ti = "17/29709/21486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29709/21486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29709 ÷ 217
    29709 ÷ 131072     		x = 0.226661682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21486 ÷ 217
    21486 ÷ 131072     		y = 0.163925170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226661682128906 × 2 - 1) × π
    -0.546676635742188 × 3.1415926535     		Λ = -1.71743530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163925170898438 × 2 - 1) × π
    0.672149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11162042826347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71743530} λ = -1.71743530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11162042826347))-π/2
    2×atan(8.26161780284532)-π/2
    2×1.45034064665381-π/2
    2.90068129330762-1.57079632675     		φ = 1.32988497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71743530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.401794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32988497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.196796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29709 KachelY 21486 -1.71743530 1.32988497 -98.401794 76.196796
    Oben rechts KachelX + 1 29710 KachelY 21486 -1.71738737 1.32988497 -98.399048 76.196796
    Unten links KachelX 29709 KachelY + 1 21487 -1.71743530 1.32987353 -98.401794 76.196141
    Unten rechts KachelX + 1 29710 KachelY + 1 21487 -1.71738737 1.32987353 -98.399048 76.196141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32988497-1.32987353) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dl = 72.8842399998324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32988497-1.32987353) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dr = 72.8842399998324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71743530--1.71738737) × cos(1.32988497) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238587763053643 × 6371000     		do = 72.8556436592641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71743530--1.71738737) × cos(1.32987353) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23859887266158 × 6371000     		du = 72.8590361116961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32988497)-sin(1.32987353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238587763053643-0.23859887266158)×R²
    abs(-1.71738737--1.71743530)×1.11096079362938e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11096079362938e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11096079362938e-05×40589641000000     		ar = 5310.15184622656m²