Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29708 / 30116
↖ ↑ ↗
← S 81.779929°
E146.381836°		 ← 174.66 m → S 81.779929°
E146.392822°		 →
↑
174.63 m
↓
↑
174.63 m
↓
S 81.781500°
E146.381836°		 ← 174.63 m →
30 499 m²		 S 81.781500°
E146.392822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906631469726562 y=0.919082641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906631469726562 × 215)
    floor (0.906631469726562 × 32768)
    floor (29708.5)     		tx = 29708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.919082641601562 × 215)
    floor (0.919082641601562 × 32768)
    floor (30116.5)     		ty = 30116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29708 / 30116 ti = "15/29708/30116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29708/30116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29708 ÷ 215
    29708 ÷ 32768     		x = 0.9066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30116 ÷ 215
    30116 ÷ 32768     		y = 0.9190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9066162109375 × 2 - 1) × π
    0.813232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55484500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.63307802233044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55484500} λ = 2.55484500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63307802233044))-π/2
    2×atan(0.0718569442160539)-π/2
    2×0.0717336500915672-π/2
    0.143467300183134-1.57079632675     		φ = -1.42732903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55484500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42732903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.779929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29708 KachelY 30116 2.55484500 -1.42732903 146.381836 -81.779929
    Oben rechts KachelX + 1 29709 KachelY 30116 2.55503675 -1.42732903 146.392822 -81.779929
    Unten links KachelX 29708 KachelY + 1 30117 2.55484500 -1.42735644 146.381836 -81.781500
    Unten rechts KachelX + 1 29709 KachelY + 1 30117 2.55503675 -1.42735644 146.392822 -81.781500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42732903--1.42735644) × R
    2.740999999995e-05 × 6371000     		dl = 174.629109999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42732903--1.42735644) × R
    2.740999999995e-05 × 6371000     		dr = 174.629109999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55484500-2.55503675) × cos(-1.42732903) × R
    0.000191750000000379 × 0.142975641711663 × 6371000     		do = 174.66465570925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55484500-2.55503675) × cos(-1.42735644) × R
    0.000191750000000379 × 0.142948513262608 × 6371000     		du = 174.631514531093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42732903)-sin(-1.42735644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.142975641711663-0.142948513262608)×R²
    abs(2.55503675-2.55484500)×2.71284490543922e-05×R²
    0.000191750000000379×2.71284490543922e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.71284490543922e-05×40589641000000     		ar = 30498.6396695952m²