Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29705 / 41254
↖ ↑ ↗
← S 42.187829°
W 16.825562°		 ← 452.61 m → S 42.187829°
W 16.820068°		 →
↑
452.60 m
↓
↑
452.60 m
↓
S 42.191899°
W 16.825562°		 ← 452.58 m →
204 842 m²		 S 42.191899°
W 16.820068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453269958496094 y=0.629493713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453269958496094 × 216)
    floor (0.453269958496094 × 65536)
    floor (29705.5)     		tx = 29705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629493713378906 × 216)
    floor (0.629493713378906 × 65536)
    floor (41254.5)     		ty = 41254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29705 / 41254 ti = "16/29705/41254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29705/41254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29705 ÷ 216
    29705 ÷ 65536     		x = 0.453262329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41254 ÷ 216
    41254 ÷ 65536     		y = 0.629486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453262329101562 × 2 - 1) × π
    -0.093475341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29366145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.25897216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.813585060351593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29366145} λ = -0.29366145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813585060351593))-π/2
    2×atan(0.443266078598601)-π/2
    2×0.417239903154467-π/2
    0.834479806308935-1.57079632675     		φ = -0.73631652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29366145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.825562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73631652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.187829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29705 KachelY 41254 -0.29366145 -0.73631652 -16.825562 -42.187829
    Oben rechts KachelX + 1 29706 KachelY 41254 -0.29356557 -0.73631652 -16.820068 -42.187829
    Unten links KachelX 29705 KachelY + 1 41255 -0.29366145 -0.73638756 -16.825562 -42.191899
    Unten rechts KachelX + 1 29706 KachelY + 1 41255 -0.29356557 -0.73638756 -16.820068 -42.191899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73631652--0.73638756) × R
    7.10400000000222e-05 × 6371000     		dl = 452.595840000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73631652--0.73638756) × R
    7.10400000000222e-05 × 6371000     		dr = 452.595840000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29366145--0.29356557) × cos(-0.73631652) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.740947269375537 × 6371000     		do = 452.608736099971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29366145--0.29356557) × cos(-0.73638756) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.74089955965553 × 6371000     		du = 452.579592546894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73631652)-sin(-0.73638756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740947269375537-0.74089955965553)×R²
    abs(-0.29356557--0.29366145)×4.77097200067833e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77097200067833e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77097200067833e-05×40589641000000     		ar = 204842.236067373m²