Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29705 / 29761
↖ ↑ ↗
← S 81.203100°
E146.348877°		 ← 186.83 m → S 81.203100°
E146.359863°		 →
↑
186.80 m
↓
↑
186.80 m
↓
S 81.204780°
E146.348877°		 ← 186.79 m →
34 896 m²		 S 81.204780°
E146.359863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906539916992188 y=0.908248901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906539916992188 × 215)
    floor (0.906539916992188 × 32768)
    floor (29705.5)     		tx = 29705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908248901367188 × 215)
    floor (0.908248901367188 × 32768)
    floor (29761.5)     		ty = 29761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29705 / 29761 ti = "15/29705/29761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29705/29761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29705 ÷ 215
    29705 ÷ 32768     		x = 0.906524658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29761 ÷ 215
    29761 ÷ 32768     		y = 0.908233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906524658203125 × 2 - 1) × π
    0.81304931640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55426976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.81646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56500762486996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55426976} λ = 2.55426976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56500762486996))-π/2
    2×atan(0.0769185949453142)-π/2
    2×0.0767674356550633-π/2
    0.153534871310127-1.57079632675     		φ = -1.41726146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55426976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.348877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41726146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.203100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29705 KachelY 29761 2.55426976 -1.41726146 146.348877 -81.203100
    Oben rechts KachelX + 1 29706 KachelY 29761 2.55446151 -1.41726146 146.359863 -81.203100
    Unten links KachelX 29705 KachelY + 1 29762 2.55426976 -1.41729078 146.348877 -81.204780
    Unten rechts KachelX + 1 29706 KachelY + 1 29762 2.55446151 -1.41729078 146.359863 -81.204780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41726146--1.41729078) × R
    2.93200000001104e-05 × 6371000     		dl = 186.797720000703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41726146--1.41729078) × R
    2.93200000001104e-05 × 6371000     		dr = 186.797720000703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55426976-2.55446151) × cos(-1.41726146) × R
    0.000191749999999935 × 0.152932365610964 × 6371000     		do = 186.82818042564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55426976-2.55446151) × cos(-1.41729078) × R
    0.000191749999999935 × 0.15290339044643 × 6371000     		du = 186.792783227371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41726146)-sin(-1.41729078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152932365610964-0.15290339044643)×R²
    abs(2.55446151-2.55426976)×2.89751645337344e-05×R²
    0.000191749999999935×2.89751645337344e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.89751645337344e-05×40589641000000     		ar = 34895.7720794285m²