Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29704 / 11263
↖ ↑ ↗
← N 81.518677°
W 98.415528°		 ← 45.05 m → N 81.518677°
W 98.412781°		 →
↑
45.11 m
↓
↑
45.11 m
↓
N 81.518272°
W 98.415528°		 ← 45.05 m →
2 032 m²		 N 81.518272°
W 98.412781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226627349853516 y=0.0859336853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226627349853516 × 217)
    floor (0.226627349853516 × 131072)
    floor (29704.5)     		tx = 29704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0859336853027344 × 217)
    floor (0.0859336853027344 × 131072)
    floor (11263.5)     		ty = 11263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29704 / 11263 ti = "17/29704/11263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29704/11263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29704 ÷ 217
    29704 ÷ 131072     		x = 0.22662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11263 ÷ 217
    11263 ÷ 131072     		y = 0.0859298706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.5467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71767499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0859298706054688 × 2 - 1) × π
    0.828140258789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.60167935307931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71767499} λ = -1.71767499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60167935307931))-π/2
    2×atan(13.4863674009591)-π/2
    2×1.49678282090145-π/2
    2.9935656418029-1.57079632675     		φ = 1.42276932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71767499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.415528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42276932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.518677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29704 KachelY 11263 -1.71767499 1.42276932 -98.415528 81.518677
    Oben rechts KachelX + 1 29705 KachelY 11263 -1.71762705 1.42276932 -98.412781 81.518677
    Unten links KachelX 29704 KachelY + 1 11264 -1.71767499 1.42276224 -98.415528 81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 29705 KachelY + 1 11264 -1.71762705 1.42276224 -98.412781 81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42276932-1.42276224) × R
    7.08000000004816e-06 × 6371000     		dl = 45.1066800003068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42276932-1.42276224) × R
    7.08000000004816e-06 × 6371000     		dr = 45.1066800003068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71767499--1.71762705) × cos(1.42276932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147487004262122 × 6371000     		do = 45.0463274171124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71767499--1.71762705) × cos(1.42276224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 45.0484661820468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42276932)-sin(1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147487004262122-0.147494006831501)×R²
    abs(-1.71762705--1.71767499)×7.00256937868904e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.00256937868904e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.00256937868904e-06×40589641000000     		ar = 2031.93851243807m²