Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29703 / 43036
↖ ↑ ↗
← S 49.023461°
W 16.836548°		 ← 400.52 m → S 49.023461°
W 16.831055°		 →
↑
400.54 m
↓
↑
400.54 m
↓
S 49.027063°
W 16.836548°		 ← 400.50 m →
160 422 m²		 S 49.027063°
W 16.831055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453239440917969 y=0.656684875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453239440917969 × 216)
    floor (0.453239440917969 × 65536)
    floor (29703.5)     		tx = 29703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656684875488281 × 216)
    floor (0.656684875488281 × 65536)
    floor (43036.5)     		ty = 43036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29703 / 43036 ti = "16/29703/43036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29703/43036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29703 ÷ 216
    29703 ÷ 65536     		x = 0.453231811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43036 ÷ 216
    43036 ÷ 65536     		y = 0.65667724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453231811523438 × 2 - 1) × π
    -0.093536376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29385319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65667724609375 × 2 - 1) × π
    -0.3133544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.984432170597473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29385319} λ = -0.29385319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984432170597473))-π/2
    2×atan(0.373651336925217)-π/2
    2×0.357587756777852-π/2
    0.715175513555704-1.57079632675     		φ = -0.85562081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29385319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.836548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85562081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.023461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29703 KachelY 43036 -0.29385319 -0.85562081 -16.836548 -49.023461
    Oben rechts KachelX + 1 29704 KachelY 43036 -0.29375732 -0.85562081 -16.831055 -49.023461
    Unten links KachelX 29703 KachelY + 1 43037 -0.29385319 -0.85568368 -16.836548 -49.027063
    Unten rechts KachelX + 1 29704 KachelY + 1 43037 -0.29375732 -0.85568368 -16.831055 -49.027063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85562081--0.85568368) × R
    6.28699999999371e-05 × 6371000     		dl = 400.5447699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85562081--0.85568368) × R
    6.28699999999371e-05 × 6371000     		dr = 400.5447699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29385319--0.29375732) × cos(-0.85562081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655749938143483 × 6371000     		do = 400.524042396287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29385319--0.29375732) × cos(-0.85568368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655702471370768 × 6371000     		du = 400.495050272031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85562081)-sin(-0.85568368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655749938143483-0.655702471370768)×R²
    abs(-0.29375732--0.29385319)×4.74667727148326e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74667727148326e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74667727148326e-05×40589641000000     		ar = 160422.004172016m²