Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29702 / 22802
↖ ↑ ↗
← N 47.923705°
W 16.842041°		 ← 409.34 m → N 47.923705°
W 16.836548°		 →
↑
409.34 m
↓
↑
409.34 m
↓
N 47.920024°
W 16.842041°		 ← 409.37 m →
167 565 m²		 N 47.920024°
W 16.836548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453224182128906 y=0.347938537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453224182128906 × 216)
    floor (0.453224182128906 × 65536)
    floor (29702.5)     		tx = 29702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347938537597656 × 216)
    floor (0.347938537597656 × 65536)
    floor (22802.5)     		ty = 22802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29702 / 22802 ti = "16/29702/22802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29702/22802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29702 ÷ 216
    29702 ÷ 65536     		x = 0.453216552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22802 ÷ 216
    22802 ÷ 65536     		y = 0.347930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453216552734375 × 2 - 1) × π
    -0.09356689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29394907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347930908203125 × 2 - 1) × π
    0.30413818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.955478283226959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29394907} λ = -0.29394907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.955478283226959))-π/2
    2×atan(2.59991378074836)-π/2
    2×1.2036113819274-π/2
    2.4072227638548-1.57079632675     		φ = 0.83642644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29394907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.842041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83642644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.923705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29702 KachelY 22802 -0.29394907 0.83642644 -16.842041 47.923705
    Oben rechts KachelX + 1 29703 KachelY 22802 -0.29385319 0.83642644 -16.836548 47.923705
    Unten links KachelX 29702 KachelY + 1 22803 -0.29394907 0.83636219 -16.842041 47.920024
    Unten rechts KachelX + 1 29703 KachelY + 1 22803 -0.29385319 0.83636219 -16.836548 47.920024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83642644-0.83636219) × R
    6.42499999999879e-05 × 6371000     		dl = 409.336749999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83642644-0.83636219) × R
    6.42499999999879e-05 × 6371000     		dr = 409.336749999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29394907--0.29385319) × cos(0.83642644) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.670119585189319 × 6371000     		do = 409.34354038985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29394907--0.29385319) × cos(0.83636219) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.670167273571149 × 6371000     		du = 409.37267090847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83642644)-sin(0.83636219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670119585189319-0.670167273571149)×R²
    abs(-0.29385319--0.29394907)×4.76883818307794e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76883818307794e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76883818307794e-05×40589641000000     		ar = 167565.316609986m²