Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29702 / 21498
↖ ↑ ↗
← N 76.188930°
W 98.421020°		 ← 72.91 m → N 76.188930°
W 98.418274°		 →
↑
72.88 m
↓
↑
72.88 m
↓
N 76.188274°
W 98.421020°		 ← 72.91 m →
5 314 m²		 N 76.188274°
W 98.418274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226612091064453 y=0.164020538330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226612091064453 × 217)
    floor (0.226612091064453 × 131072)
    floor (29702.5)     		tx = 29702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164020538330078 × 217)
    floor (0.164020538330078 × 131072)
    floor (21498.5)     		ty = 21498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29702 / 21498 ti = "17/29702/21498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29702/21498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29702 ÷ 217
    29702 ÷ 131072     		x = 0.226608276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21498 ÷ 217
    21498 ÷ 131072     		y = 0.164016723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226608276367188 × 2 - 1) × π
    -0.546783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71777086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164016723632812 × 2 - 1) × π
    0.671966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11104518546803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71777086} λ = -1.71777086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11104518546803))-π/2
    2×atan(8.25686673336581)-π/2
    2×1.45027200453616-π/2
    2.90054400907232-1.57079632675     		φ = 1.32974768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71777086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.421020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32974768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.188930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29702 KachelY 21498 -1.71777086 1.32974768 -98.421020 76.188930
    Oben rechts KachelX + 1 29703 KachelY 21498 -1.71772292 1.32974768 -98.418274 76.188930
    Unten links KachelX 29702 KachelY + 1 21499 -1.71777086 1.32973624 -98.421020 76.188274
    Unten rechts KachelX + 1 29703 KachelY + 1 21499 -1.71772292 1.32973624 -98.418274 76.188274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32974768-1.32973624) × R
    1.14400000001957e-05 × 6371000     		dl = 72.8842400012471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32974768-1.32973624) × R
    1.14400000001957e-05 × 6371000     		dr = 72.8842400012471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71777086--1.71772292) × cos(1.32974768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238721085998506 × 6371000     		do = 72.9115643446494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71777086--1.71772292) × cos(1.32973624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238732195231603 × 6371000     		du = 72.9149573903891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32974768)-sin(1.32973624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238721085998506-0.238732195231603)×R²
    abs(-1.71772292--1.71777086)×1.11092330977169e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11092330977169e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11092330977169e-05×40589641000000     		ar = 5314.22760439489m²