Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29701 / 43038
↖ ↑ ↗
← S 49.030665°
W 16.847534°		 ← 400.47 m → S 49.030665°
W 16.842041°		 →
↑
400.48 m
↓
↑
400.48 m
↓
S 49.034267°
W 16.847534°		 ← 400.44 m →
160 373 m²		 S 49.034267°
W 16.842041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453208923339844 y=0.656715393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453208923339844 × 216)
    floor (0.453208923339844 × 65536)
    floor (29701.5)     		tx = 29701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656715393066406 × 216)
    floor (0.656715393066406 × 65536)
    floor (43038.5)     		ty = 43038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29701 / 43038 ti = "16/29701/43038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29701/43038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29701 ÷ 216
    29701 ÷ 65536     		x = 0.453201293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43038 ÷ 216
    43038 ÷ 65536     		y = 0.656707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453201293945312 × 2 - 1) × π
    -0.093597412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29404494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656707763671875 × 2 - 1) × π
    -0.31341552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.984623918195953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29404494} λ = -0.29404494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984623918195953))-π/2
    2×atan(0.3735796970473)-π/2
    2×0.357524892090752-π/2
    0.715049784181503-1.57079632675     		φ = -0.85574654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29404494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.847534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85574654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.030665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29701 KachelY 43038 -0.29404494 -0.85574654 -16.847534 -49.030665
    Oben rechts KachelX + 1 29702 KachelY 43038 -0.29394907 -0.85574654 -16.842041 -49.030665
    Unten links KachelX 29701 KachelY + 1 43039 -0.29404494 -0.85580940 -16.847534 -49.034267
    Unten rechts KachelX + 1 29702 KachelY + 1 43039 -0.29394907 -0.85580940 -16.842041 -49.034267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85574654--0.85580940) × R
    6.28599999999979e-05 × 6371000     		dl = 400.481059999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85574654--0.85580940) × R
    6.28599999999979e-05 × 6371000     		dr = 400.481059999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29404494--0.29394907) × cos(-0.85574654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655655009556905 × 6371000     		do = 400.466061176582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29404494--0.29394907) × cos(-0.85580940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655607545152301 × 6371000     		du = 400.437070498739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85574654)-sin(-0.85580940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655655009556905-0.655607545152301)×R²
    abs(-0.29394907--0.29404494)×4.74644046045691e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74644046045691e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74644046045691e-05×40589641000000     		ar = 160373.267617892m²