Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29700 / 11266
↖ ↑ ↗
← N 81.517461°
W 98.426513°		 ← 45.04 m → N 81.517461°
W 98.423767°		 →
↑
45.04 m
↓
↑
45.04 m
↓
N 81.517056°
W 98.426513°		 ← 45.05 m →
2 029 m²		 N 81.517056°
W 98.423767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226596832275391 y=0.0859565734863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226596832275391 × 217)
    floor (0.226596832275391 × 131072)
    floor (29700.5)     		tx = 29700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0859565734863281 × 217)
    floor (0.0859565734863281 × 131072)
    floor (11266.5)     		ty = 11266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29700 / 11266 ti = "17/29700/11266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29700/11266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29700 ÷ 217
    29700 ÷ 131072     		x = 0.226593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11266 ÷ 217
    11266 ÷ 131072     		y = 0.0859527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.54681396484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71786673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0859527587890625 × 2 - 1) × π
    0.828094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60153554238045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71786673} λ = -1.71786673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60153554238045))-π/2
    2×atan(13.4844280564907)-π/2
    2×1.49677221504226-π/2
    2.99354443008452-1.57079632675     		φ = 1.42274810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71786673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.426513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42274810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.517461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29700 KachelY 11266 -1.71786673 1.42274810 -98.426513 81.517461
    Oben rechts KachelX + 1 29701 KachelY 11266 -1.71781880 1.42274810 -98.423767 81.517461
    Unten links KachelX 29700 KachelY + 1 11267 -1.71786673 1.42274103 -98.426513 81.517056
    Unten rechts KachelX + 1 29701 KachelY + 1 11267 -1.71781880 1.42274103 -98.423767 81.517056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42274810-1.42274103) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dl = 45.0429699992794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42274810-1.42274103) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dr = 45.0429699992794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71786673--1.71781880) × cos(1.42274810) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.147507992166861 × 6371000     		do = 45.0433399291156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71786673--1.71781880) × cos(1.42274103) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.147514984823481 × 6371000     		du = 45.0454752209362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42274810)-sin(1.42274103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147507992166861-0.147514984823481)×R²
    abs(-1.71781880--1.71786673)×6.99265662010284e-06×R²
    4.79299999998073e-05×6.99265662010284e-06×6371000²
    4.79299999998073e-05×6.99265662010284e-06×40589641000000     		ar = 2028.93389895674m²