Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2970 / 3975
↖ ↑ ↗
← N 67.550559°
W114.741211°		 ← 933.01 m → N 67.550559°
W114.719238°		 →
↑
933.16 m
↓
↑
933.16 m
↓
N 67.542167°
W114.741211°		 ← 933.34 m →
870 802 m²		 N 67.542167°
W114.719238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.181304931640625 y=0.242645263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.181304931640625 × 214)
    floor (0.181304931640625 × 16384)
    floor (2970.5)     		tx = 2970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242645263671875 × 214)
    floor (0.242645263671875 × 16384)
    floor (3975.5)     		ty = 3975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2970 / 3975 ti = "14/2970/3975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2970/3975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2970 ÷ 214
    2970 ÷ 16384     		x = 0.1812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3975 ÷ 214
    3975 ÷ 16384     		y = 0.24261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.637451171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.00261192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24261474609375 × 2 - 1) × π
    0.5147705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61719924558221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00261192} λ = -2.00261192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61719924558221))-π/2
    2×atan(5.03895765183618)-π/2
    2×1.3748879949664-π/2
    2.74977598993281-1.57079632675     		φ = 1.17897966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00261192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17897966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.550559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2970 KachelY 3975 -2.00261192 1.17897966 -114.741211 67.550559
    Oben rechts KachelX + 1 2971 KachelY 3975 -2.00222842 1.17897966 -114.719238 67.550559
    Unten links KachelX 2970 KachelY + 1 3976 -2.00261192 1.17883319 -114.741211 67.542167
    Unten rechts KachelX + 1 2971 KachelY + 1 3976 -2.00222842 1.17883319 -114.719238 67.542167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17897966-1.17883319) × R
    0.00014647000000001 × 6371000     		dl = 933.160370000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17897966-1.17883319) × R
    0.00014647000000001 × 6371000     		dr = 933.160370000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00261192--2.00222842) × cos(1.17897966) × R
    0.000383500000000314 × 0.381868038412682 × 6371000     		do = 933.009968091645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00261192--2.00222842) × cos(1.17883319) × R
    0.000383500000000314 × 0.382003404359244 × 6371000     		du = 933.340704798511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17897966)-sin(1.17883319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381868038412682-0.382003404359244)×R²
    abs(-2.00222842--2.00261192)×0.000135365946561494×R²
    0.000383500000000314×0.000135365946561494×6371000²
    0.000383500000000314×0.000135365946561494×40589641000000     		ar = 870802.24378725m²