Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 297 / 211
↖ ↑ ↗
← N 30.145127°
E 28.828125°		 ← 67.610 km → N 30.145127°
E 29.531250°		 →
↑
67.818 km
↓
↑
67.818 km
↓
N 29.535229°
E 28.828125°		 ← 68.024 km →
4 599.23 km²		 N 29.535229°
E 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5810546875 y=0.4130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5810546875 × 29)
    floor (0.5810546875 × 512)
    floor (297.5)     		tx = 297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4130859375 × 29)
    floor (0.4130859375 × 512)
    floor (211.5)     		ty = 211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 297 / 211 ti = "9/297/211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/297/211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 297 ÷ 29
    297 ÷ 512     		x = 0.580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 211 ÷ 29
    211 ÷ 512     		y = 0.412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580078125 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50314570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412109375 × 2 - 1) × π
    0.17578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50314570} λ = 0.50314570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552233083623047))-π/2
    2×atan(1.73712784158869)-π/2
    2×1.0484640247818-π/2
    2.0969280495636-1.57079632675     		φ = 0.52613172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50314570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.828125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52613172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.145127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 297 KachelY 211 0.50314570 0.52613172 28.828125 30.145127
    Oben rechts KachelX + 1 298 KachelY 211 0.51541754 0.52613172 29.531250 30.145127
    Unten links KachelX 297 KachelY + 1 212 0.50314570 0.51548700 28.828125 29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 298 KachelY + 1 212 0.51541754 0.51548700 29.531250 29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52613172-0.51548700) × R
    0.0106447199999999 × 6371000     		dl = 67817.5111199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52613172-0.51548700) × R
    0.0106447199999999 × 6371000     		dr = 67817.5111199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50314570-0.51541754) × cos(0.52613172) × R
    0.0122718399999999 × 0.864756154813241 × 6371000     		do = 67610.0023676972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50314570-0.51541754) × cos(0.51548700) × R
    0.0122718399999999 × 0.870052754632841 × 6371000     		du = 68024.1111593499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52613172)-sin(0.51548700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864756154813241-0.870052754632841)×R²
    abs(0.51541754-0.50314570)×0.00529659981959973×R²
    0.0122718399999999×0.00529659981959973×6371000²
    0.0122718399999999×0.00529659981959973×40589641000000     		ar = 4599227429.4974m²