Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29699 / 30099
↖ ↑ ↗
← S 81.753183°
E146.282959°		 ← 175.23 m → S 81.753183°
E146.293945°		 →
↑
175.27 m
↓
↑
175.27 m
↓
S 81.754759°
E146.282959°		 ← 175.20 m →
30 709 m²		 S 81.754759°
E146.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906356811523438 y=0.918563842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906356811523438 × 215)
    floor (0.906356811523438 × 32768)
    floor (29699.5)     		tx = 29699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918563842773438 × 215)
    floor (0.918563842773438 × 32768)
    floor (30099.5)     		ty = 30099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29699 / 30099 ti = "15/29699/30099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29699/30099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29699 ÷ 215
    29699 ÷ 32768     		x = 0.906341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30099 ÷ 215
    30099 ÷ 32768     		y = 0.918548583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906341552734375 × 2 - 1) × π
    0.81268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55311927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.83709716796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.62981831315628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55311927} λ = 2.55311927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62981831315628))-π/2
    2×atan(0.0720915591368014)-π/2
    2×0.0719670559008087-π/2
    0.143934111801617-1.57079632675     		φ = -1.42686221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55311927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42686221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.753183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29699 KachelY 30099 2.55311927 -1.42686221 146.282959 -81.753183
    Oben rechts KachelX + 1 29700 KachelY 30099 2.55331102 -1.42686221 146.293945 -81.753183
    Unten links KachelX 29699 KachelY + 1 30100 2.55311927 -1.42688972 146.282959 -81.754759
    Unten rechts KachelX + 1 29700 KachelY + 1 30100 2.55331102 -1.42688972 146.293945 -81.754759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42686221--1.42688972) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dl = 175.266210000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42686221--1.42688972) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dr = 175.266210000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55311927-2.55331102) × cos(-1.42686221) × R
    0.000191750000000379 × 0.143437650104392 × 6371000     		do = 175.229063295638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55311927-2.55331102) × cos(-1.42688972) × R
    0.000191750000000379 × 0.14341042452124 × 6371000     		du = 175.195803454656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42686221)-sin(-1.42688972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143437650104392-0.14341042452124)×R²
    abs(2.55331102-2.55311927)×2.72255831516022e-05×R²
    0.000191750000000379×2.72255831516022e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.72255831516022e-05×40589641000000     		ar = 30708.8191445197m²