Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29699 / 29943
↖ ↑ ↗
← S 81.503676°
E146.282959°		 ← 180.49 m → S 81.503676°
E146.293945°		 →
↑
180.49 m
↓
↑
180.49 m
↓
S 81.505299°
E146.282959°		 ← 180.46 m →
32 574 m²		 S 81.505299°
E146.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906356811523438 y=0.913803100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906356811523438 × 215)
    floor (0.906356811523438 × 32768)
    floor (29699.5)     		tx = 29699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913803100585938 × 215)
    floor (0.913803100585938 × 32768)
    floor (29943.5)     		ty = 29943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29699 / 29943 ti = "15/29699/29943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29699/29943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29699 ÷ 215
    29699 ÷ 32768     		x = 0.906341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29943 ÷ 215
    29943 ÷ 32768     		y = 0.913787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906341552734375 × 2 - 1) × π
    0.81268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55311927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.82757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.59990568779337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55311927} λ = 2.55311927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59990568779337))-π/2
    2×atan(0.0742805834497243)-π/2
    2×0.0741444169791457-π/2
    0.148288833958291-1.57079632675     		φ = -1.42250749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55311927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42250749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.503676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29699 KachelY 29943 2.55311927 -1.42250749 146.282959 -81.503676
    Oben rechts KachelX + 1 29700 KachelY 29943 2.55331102 -1.42250749 146.293945 -81.503676
    Unten links KachelX 29699 KachelY + 1 29944 2.55311927 -1.42253582 146.282959 -81.505299
    Unten rechts KachelX + 1 29700 KachelY + 1 29944 2.55331102 -1.42253582 146.293945 -81.505299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42250749--1.42253582) × R
    2.83299999999098e-05 × 6371000     		dl = 180.490429999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42250749--1.42253582) × R
    2.83299999999098e-05 × 6371000     		dr = 180.490429999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55311927-2.55331102) × cos(-1.42250749) × R
    0.000191750000000379 × 0.147745965829144 × 6371000     		do = 180.492270886398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55311927-2.55331102) × cos(-1.42253582) × R
    0.000191750000000379 × 0.147717946681884 × 6371000     		du = 180.458041596354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42250749)-sin(-1.42253582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147745965829144-0.147717946681884)×R²
    abs(2.55331102-2.55311927)×2.80191472599167e-05×R²
    0.000191750000000379×2.80191472599167e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.80191472599167e-05×40589641000000     		ar = 32574.0385561506m²