Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29699 / 16759
↖ ↑ ↗
← N 65.678644°
W 16.858521°		 ← 251.56 m → N 65.678644°
W 16.853028°		 →
↑
251.59 m
↓
↑
251.59 m
↓
N 65.676382°
W 16.858521°		 ← 251.58 m →
63 292 m²		 N 65.676382°
W 16.853028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453178405761719 y=0.255729675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453178405761719 × 216)
    floor (0.453178405761719 × 65536)
    floor (29699.5)     		tx = 29699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255729675292969 × 216)
    floor (0.255729675292969 × 65536)
    floor (16759.5)     		ty = 16759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29699 / 16759 ti = "16/29699/16759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29699/16759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29699 ÷ 216
    29699 ÷ 65536     		x = 0.453170776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16759 ÷ 216
    16759 ÷ 65536     		y = 0.255722045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453170776367188 × 2 - 1) × π
    -0.093658447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29423669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255722045898438 × 2 - 1) × π
    0.488555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.53484365203496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29423669} λ = -0.29423669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53484365203496))-π/2
    2×atan(4.64059992487717)-π/2
    2×1.35855245608601-π/2
    2.71710491217202-1.57079632675     		φ = 1.14630859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29423669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.858521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14630859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.678644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29699 KachelY 16759 -0.29423669 1.14630859 -16.858521 65.678644
    Oben rechts KachelX + 1 29700 KachelY 16759 -0.29414082 1.14630859 -16.853028 65.678644
    Unten links KachelX 29699 KachelY + 1 16760 -0.29423669 1.14626910 -16.858521 65.676382
    Unten rechts KachelX + 1 29700 KachelY + 1 16760 -0.29414082 1.14626910 -16.853028 65.676382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14630859-1.14626910) × R
    3.94900000000309e-05 × 6371000     		dl = 251.590790000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14630859-1.14626910) × R
    3.94900000000309e-05 × 6371000     		dr = 251.590790000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29423669--0.29414082) × cos(1.14630859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411854036043232 × 6371000     		do = 251.55540824034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29423669--0.29414082) × cos(1.14626910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411890020977881 × 6371000     		du = 251.577387398328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14630859)-sin(1.14626910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411854036043232-0.411890020977881)×R²
    abs(-0.29414082--0.29423669)×3.59849346493468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59849346493468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59849346493468e-05×40589641000000     		ar = 63291.788773223m²