Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29698 / 22765
↖ ↑ ↗
← N 48.059725°
W 16.864013°		 ← 408.22 m → N 48.059725°
W 16.858521°		 →
↑
408.25 m
↓
↑
408.25 m
↓
N 48.056054°
W 16.864013°		 ← 408.25 m →
166 665 m²		 N 48.056054°
W 16.858521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453163146972656 y=0.347373962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453163146972656 × 216)
    floor (0.453163146972656 × 65536)
    floor (29698.5)     		tx = 29698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347373962402344 × 216)
    floor (0.347373962402344 × 65536)
    floor (22765.5)     		ty = 22765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29698 / 22765 ti = "16/29698/22765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29698/22765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29698 ÷ 216
    29698 ÷ 65536     		x = 0.453155517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22765 ÷ 216
    22765 ÷ 65536     		y = 0.347366333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453155517578125 × 2 - 1) × π
    -0.09368896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29433256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347366333007812 × 2 - 1) × π
    0.305267333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.959025613798843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29433256} λ = -0.29433256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959025613798843))-π/2
    2×atan(2.60915291182471)-π/2
    2×1.20479838527383-π/2
    2.40959677054767-1.57079632675     		φ = 0.83880044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29433256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.864013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83880044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.059725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29698 KachelY 22765 -0.29433256 0.83880044 -16.864013 48.059725
    Oben rechts KachelX + 1 29699 KachelY 22765 -0.29423669 0.83880044 -16.858521 48.059725
    Unten links KachelX 29698 KachelY + 1 22766 -0.29433256 0.83873636 -16.864013 48.056054
    Unten rechts KachelX + 1 29699 KachelY + 1 22766 -0.29423669 0.83873636 -16.858521 48.056054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83880044-0.83873636) × R
    6.40800000000219e-05 × 6371000     		dl = 408.25368000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83880044-0.83873636) × R
    6.40800000000219e-05 × 6371000     		dr = 408.25368000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29433256--0.29423669) × cos(0.83880044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668355589507258 × 6371000     		do = 408.223420082164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29433256--0.29423669) × cos(0.83873636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668403253525416 × 6371000     		du = 408.252532681524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83880044)-sin(0.83873636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668355589507258-0.668403253525416)×R²
    abs(-0.29423669--0.29433256)×4.76640181580334e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76640181580334e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76640181580334e-05×40589641000000     		ar = 166664.656230399m²