Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29698 / 16758
↖ ↑ ↗
← N 65.680906°
W 16.864013°		 ← 251.53 m → N 65.680906°
W 16.858521°		 →
↑
251.53 m
↓
↑
251.53 m
↓
N 65.678644°
W 16.864013°		 ← 251.56 m →
63 270 m²		 N 65.678644°
W 16.858521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453163146972656 y=0.255714416503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453163146972656 × 216)
    floor (0.453163146972656 × 65536)
    floor (29698.5)     		tx = 29698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255714416503906 × 216)
    floor (0.255714416503906 × 65536)
    floor (16758.5)     		ty = 16758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29698 / 16758 ti = "16/29698/16758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29698/16758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29698 ÷ 216
    29698 ÷ 65536     		x = 0.453155517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16758 ÷ 216
    16758 ÷ 65536     		y = 0.255706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453155517578125 × 2 - 1) × π
    -0.09368896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29433256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255706787109375 × 2 - 1) × π
    0.48858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5349395258342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29433256} λ = -0.29433256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5349395258342))-π/2
    2×atan(4.6410448581511)-π/2
    2×1.35857219822939-π/2
    2.71714439645878-1.57079632675     		φ = 1.14634807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29433256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.864013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14634807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.680906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29698 KachelY 16758 -0.29433256 1.14634807 -16.864013 65.680906
    Oben rechts KachelX + 1 29699 KachelY 16758 -0.29423669 1.14634807 -16.858521 65.680906
    Unten links KachelX 29698 KachelY + 1 16759 -0.29433256 1.14630859 -16.864013 65.678644
    Unten rechts KachelX + 1 29699 KachelY + 1 16759 -0.29423669 1.14630859 -16.858521 65.678644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14634807-1.14630859) × R
    3.94799999998696e-05 × 6371000     		dl = 251.527079999169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14634807-1.14630859) × R
    3.94799999998696e-05 × 6371000     		dr = 251.527079999169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29433256--0.29423669) × cos(1.14634807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411818059578974 × 6371000     		do = 251.533434255963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29433256--0.29423669) × cos(1.14630859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411854036043232 × 6371000     		du = 251.55540824034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14634807)-sin(1.14630859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411818059578974-0.411854036043232)×R²
    abs(-0.29423669--0.29433256)×3.59764642582361e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59764642582361e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59764642582361e-05×40589641000000     		ar = 63270.233774844m²