Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29698 / 11268
↖ ↑ ↗
← N 81.516651°
W 98.432007°		 ← 45.06 m → N 81.516651°
W 98.429260°		 →
↑
45.04 m
↓
↑
45.04 m
↓
N 81.516246°
W 98.432007°		 ← 45.06 m →
2 030 m²		 N 81.516246°
W 98.429260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226581573486328 y=0.0859718322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226581573486328 × 217)
    floor (0.226581573486328 × 131072)
    floor (29698.5)     		tx = 29698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0859718322753906 × 217)
    floor (0.0859718322753906 × 131072)
    floor (11268.5)     		ty = 11268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29698 / 11268 ti = "17/29698/11268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29698/11268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29698 ÷ 217
    29698 ÷ 131072     		x = 0.226577758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11268 ÷ 217
    11268 ÷ 131072     		y = 0.085968017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226577758789062 × 2 - 1) × π
    -0.546844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71796261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085968017578125 × 2 - 1) × π
    0.82806396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.60143966858121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71796261} λ = -1.71796261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60143966858121))-π/2
    2×atan(13.4831353151133)-π/2
    2×1.49676514363133-π/2
    2.99353028726267-1.57079632675     		φ = 1.42273396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71796261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.432007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42273396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.516651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29698 KachelY 11268 -1.71796261 1.42273396 -98.432007 81.516651
    Oben rechts KachelX + 1 29699 KachelY 11268 -1.71791467 1.42273396 -98.429260 81.516651
    Unten links KachelX 29698 KachelY + 1 11269 -1.71796261 1.42272689 -98.432007 81.516246
    Unten rechts KachelX + 1 29699 KachelY + 1 11269 -1.71791467 1.42272689 -98.429260 81.516246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42273396-1.42272689) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dl = 45.0429699992794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42273396-1.42272689) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dr = 45.0429699992794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71796261--1.71791467) × cos(1.42273396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147521977472728 × 6371000     		do = 45.0570091358416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71796261--1.71791467) × cos(1.42272689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1475289701146 × 6371000     		du = 45.0591448686602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42273396)-sin(1.42272689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147521977472728-0.1475289701146)×R²
    abs(-1.71791467--1.71796261)×6.9926418727051e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.9926418727051e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.9926418727051e-06×40589641000000     		ar = 2029.5496106917m²