Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29696 / 30094
↖ ↑ ↗
← S 81.745300°
E146.250000°		 ← 175.40 m → S 81.745300°
E146.260986°		 →
↑
175.39 m
↓
↑
175.39 m
↓
S 81.746877°
E146.250000°		 ← 175.36 m →
30 760 m²		 S 81.746877°
E146.260986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906265258789062 y=0.918411254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906265258789062 × 215)
    floor (0.906265258789062 × 32768)
    floor (29696.5)     		tx = 29696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918411254882812 × 215)
    floor (0.918411254882812 × 32768)
    floor (30094.5)     		ty = 30094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29696 / 30094 ti = "15/29696/30094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29696/30094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29696 ÷ 215
    29696 ÷ 32768     		x = 0.90625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30094 ÷ 215
    30094 ÷ 32768     		y = 0.91839599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90625 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55254403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91839599609375 × 2 - 1) × π
    -0.8367919921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.62885957516388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55254403} λ = 2.55254403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62885957516388))-π/2
    2×atan(0.0721607091965753)-π/2
    2×0.0720358480912514-π/2
    0.144071696182503-1.57079632675     		φ = -1.42672463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55254403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42672463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.745300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29696 KachelY 30094 2.55254403 -1.42672463 146.250000 -81.745300
    Oben rechts KachelX + 1 29697 KachelY 30094 2.55273578 -1.42672463 146.260986 -81.745300
    Unten links KachelX 29696 KachelY + 1 30095 2.55254403 -1.42675216 146.250000 -81.746877
    Unten rechts KachelX + 1 29697 KachelY + 1 30095 2.55273578 -1.42675216 146.260986 -81.746877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42672463--1.42675216) × R
    2.75299999998868e-05 × 6371000     		dl = 175.393629999279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42672463--1.42675216) × R
    2.75299999998868e-05 × 6371000     		dr = 175.393629999279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55254403-2.55273578) × cos(-1.42672463) × R
    0.000191749999999935 × 0.143573806080621 × 6371000     		do = 175.395396779916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55254403-2.55273578) × cos(-1.42675216) × R
    0.000191749999999935 × 0.143546561247691 × 6371000     		du = 175.362113422649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42672463)-sin(-1.42675216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143573806080621-0.143546561247691)×R²
    abs(2.55273578-2.55254403)×2.72448329300679e-05×R²
    0.000191749999999935×2.72448329300679e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.72448329300679e-05×40589641000000     		ar = 30760.3164834674m²