Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29696 / 23569
↖ ↑ ↗
← N 74.763577°
W 98.437500°		 ← 80.25 m → N 74.763577°
W 98.434754°		 →
↑
80.27 m
↓
↑
80.27 m
↓
N 74.762855°
W 98.437500°		 ← 80.25 m →
6 442 m²		 N 74.762855°
W 98.434754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226566314697266 y=0.179821014404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226566314697266 × 217)
    floor (0.226566314697266 × 131072)
    floor (29696.5)     		tx = 29696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179821014404297 × 217)
    floor (0.179821014404297 × 131072)
    floor (23569.5)     		ty = 23569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29696 / 23569 ti = "17/29696/23569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29696/23569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29696 ÷ 217
    29696 ÷ 131072     		x = 0.2265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23569 ÷ 217
    23569 ÷ 131072     		y = 0.179817199707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2265625 × 2 - 1) × π
    -0.546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71805848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179817199707031 × 2 - 1) × π
    0.640365600585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.0117678663549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71805848} λ = -1.71805848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0117678663549))-π/2
    2×atan(7.47652316457404)-π/2
    2×1.43783345368677-π/2
    2.87566690737353-1.57079632675     		φ = 1.30487058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71805848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30487058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.763577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29696 KachelY 23569 -1.71805848 1.30487058 -98.437500 74.763577
    Oben rechts KachelX + 1 29697 KachelY 23569 -1.71801055 1.30487058 -98.434754 74.763577
    Unten links KachelX 29696 KachelY + 1 23570 -1.71805848 1.30485798 -98.437500 74.762855
    Unten rechts KachelX + 1 29697 KachelY + 1 23570 -1.71801055 1.30485798 -98.434754 74.762855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30487058-1.30485798) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dl = 80.2746000001864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30487058-1.30485798) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dr = 80.2746000001864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71805848--1.71801055) × cos(1.30487058) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.262802587082334 × 6371000     		do = 80.2499314807625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71805848--1.71801055) × cos(1.30485798) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.262814744166757 × 6371000     		du = 80.2536437927406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30487058)-sin(1.30485798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262802587082334-0.262814744166757)×R²
    abs(-1.71801055--1.71805848)×1.21570844223151e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.21570844223151e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.21570844223151e-05×40589641000000     		ar = 6442.1801517979m²