Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29695 / 30095
↖ ↑ ↗
← S 81.746877°
E146.239013°		 ← 175.36 m → S 81.746877°
E146.250000°		 →
↑
175.33 m
↓
↑
175.33 m
↓
S 81.748454°
E146.239013°		 ← 175.33 m →
30 743 m²		 S 81.748454°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906234741210938 y=0.918441772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906234741210938 × 215)
    floor (0.906234741210938 × 32768)
    floor (29695.5)     		tx = 29695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918441772460938 × 215)
    floor (0.918441772460938 × 32768)
    floor (30095.5)     		ty = 30095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29695 / 30095 ti = "15/29695/30095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29695/30095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29695 ÷ 215
    29695 ÷ 32768     		x = 0.906219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30095 ÷ 215
    30095 ÷ 32768     		y = 0.918426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906219482421875 × 2 - 1) × π
    0.81243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55235228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.83685302734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62905132276236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55235228} λ = 2.55235228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62905132276236))-π/2
    2×atan(0.0721468738803689)-π/2
    2×0.0720220844309954-π/2
    0.144044168861991-1.57079632675     		φ = -1.42675216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55235228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.239013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42675216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.746877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29695 KachelY 30095 2.55235228 -1.42675216 146.239013 -81.746877
    Oben rechts KachelX + 1 29696 KachelY 30095 2.55254403 -1.42675216 146.250000 -81.746877
    Unten links KachelX 29695 KachelY + 1 30096 2.55235228 -1.42677968 146.239013 -81.748454
    Unten rechts KachelX + 1 29696 KachelY + 1 30096 2.55254403 -1.42677968 146.250000 -81.748454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42675216--1.42677968) × R
    2.75200000001696e-05 × 6371000     		dl = 175.329920001081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42675216--1.42677968) × R
    2.75200000001696e-05 × 6371000     		dr = 175.329920001081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55235228-2.55254403) × cos(-1.42675216) × R
    0.000191749999999935 × 0.143546561247691 × 6371000     		do = 175.362113422649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55235228-2.55254403) × cos(-1.42677968) × R
    0.000191749999999935 × 0.143519326202442 × 6371000     		du = 175.328842022397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42675216)-sin(-1.42677968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143546561247691-0.143519326202442)×R²
    abs(2.55254403-2.55235228)×2.72350452492631e-05×R²
    0.000191749999999935×2.72350452492631e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.72350452492631e-05×40589641000000     		ar = 30743.308583497m²