Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29695 / 30093
↖ ↑ ↗
← S 81.743722°
E146.239013°		 ← 175.43 m → S 81.743722°
E146.250000°		 →
↑
175.39 m
↓
↑
175.39 m
↓
S 81.745300°
E146.239013°		 ← 175.40 m →
30 766 m²		 S 81.745300°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906234741210938 y=0.918380737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906234741210938 × 215)
    floor (0.906234741210938 × 32768)
    floor (29695.5)     		tx = 29695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918380737304688 × 215)
    floor (0.918380737304688 × 32768)
    floor (30093.5)     		ty = 30093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29695 / 30093 ti = "15/29695/30093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29695/30093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29695 ÷ 215
    29695 ÷ 32768     		x = 0.906219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30093 ÷ 215
    30093 ÷ 32768     		y = 0.918365478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906219482421875 × 2 - 1) × π
    0.81243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55235228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918365478515625 × 2 - 1) × π
    -0.83673095703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.6286678275654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55235228} λ = 2.55235228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6286678275654))-π/2
    2×atan(0.0721745471659246)-π/2
    2×0.0720496143635615-π/2
    0.144099228727123-1.57079632675     		φ = -1.42669710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55235228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.239013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42669710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.743722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29695 KachelY 30093 2.55235228 -1.42669710 146.239013 -81.743722
    Oben rechts KachelX + 1 29696 KachelY 30093 2.55254403 -1.42669710 146.250000 -81.743722
    Unten links KachelX 29695 KachelY + 1 30094 2.55235228 -1.42672463 146.239013 -81.745300
    Unten rechts KachelX + 1 29696 KachelY + 1 30094 2.55254403 -1.42672463 146.250000 -81.745300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42669710--1.42672463) × R
    2.75300000001089e-05 × 6371000     		dl = 175.393630000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42669710--1.42672463) × R
    2.75300000001089e-05 × 6371000     		dr = 175.393630000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55235228-2.55254403) × cos(-1.42669710) × R
    0.000191749999999935 × 0.143601050804737 × 6371000     		do = 175.428680004251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55235228-2.55254403) × cos(-1.42672463) × R
    0.000191749999999935 × 0.143573806080621 × 6371000     		du = 175.395396779916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42669710)-sin(-1.42672463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143601050804737-0.143573806080621)×R²
    abs(2.55254403-2.55235228)×2.72447241155549e-05×R²
    0.000191749999999935×2.72447241155549e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.72447241155549e-05×40589641000000     		ar = 30766.1541618979m²