Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29695 / 22809
↖ ↑ ↗
← N 47.897931°
W 16.880493°		 ← 409.55 m → N 47.897931°
W 16.875000°		 →
↑
409.53 m
↓
↑
409.53 m
↓
N 47.894248°
W 16.880493°		 ← 409.58 m →
167 727 m²		 N 47.894248°
W 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453117370605469 y=0.348045349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453117370605469 × 216)
    floor (0.453117370605469 × 65536)
    floor (29695.5)     		tx = 29695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348045349121094 × 216)
    floor (0.348045349121094 × 65536)
    floor (22809.5)     		ty = 22809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29695 / 22809 ti = "16/29695/22809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29695/22809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29695 ÷ 216
    29695 ÷ 65536     		x = 0.453109741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22809 ÷ 216
    22809 ÷ 65536     		y = 0.348037719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453109741210938 × 2 - 1) × π
    -0.093780517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29462019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348037719726562 × 2 - 1) × π
    0.303924560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.954807166632278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29462019} λ = -0.29462019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954807166632278))-π/2
    2×atan(2.59816952083172)-π/2
    2×1.20338646173119-π/2
    2.40677292346237-1.57079632675     		φ = 0.83597660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29462019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.880493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83597660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.897931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29695 KachelY 22809 -0.29462019 0.83597660 -16.880493 47.897931
    Oben rechts KachelX + 1 29696 KachelY 22809 -0.29452431 0.83597660 -16.875000 47.897931
    Unten links KachelX 29695 KachelY + 1 22810 -0.29462019 0.83591232 -16.880493 47.894248
    Unten rechts KachelX + 1 29696 KachelY + 1 22810 -0.29452431 0.83591232 -16.875000 47.894248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83597660-0.83591232) × R
    6.42799999999166e-05 × 6371000     		dl = 409.527879999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83597660-0.83591232) × R
    6.42799999999166e-05 × 6371000     		dr = 409.527879999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29462019--0.29452431) × cos(0.83597660) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.670453412534554 × 6371000     		do = 409.547459317751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29462019--0.29452431) × cos(0.83591232) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.670501103800183 × 6371000     		du = 409.576591597944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83597660)-sin(0.83591232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670453412534554-0.670501103800183)×R²
    abs(-0.29452431--0.29462019)×4.76912656297568e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76912656297568e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76912656297568e-05×40589641000000     		ar = 167727.068071584m²