Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29694 / 29754
↖ ↑ ↗
← S 81.191331°
E146.228028°		 ← 187.07 m → S 81.191331°
E146.239013°		 →
↑
187.05 m
↓
↑
187.05 m
↓
S 81.193013°
E146.228028°		 ← 187.03 m →
34 988 m²		 S 81.193013°
E146.239013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906204223632812 y=0.908035278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906204223632812 × 215)
    floor (0.906204223632812 × 32768)
    floor (29694.5)     		tx = 29694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908035278320312 × 215)
    floor (0.908035278320312 × 32768)
    floor (29754.5)     		ty = 29754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29694 / 29754 ti = "15/29694/29754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29694/29754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29694 ÷ 215
    29694 ÷ 32768     		x = 0.90618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29754 ÷ 215
    29754 ÷ 32768     		y = 0.90802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90618896484375 × 2 - 1) × π
    0.8123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55216054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.8160400390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5636653916806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55216054} λ = 2.55216054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5636653916806))-π/2
    2×atan(0.0770219069552227)-π/2
    2×0.0768701392059597-π/2
    0.153740278411919-1.57079632675     		φ = -1.41705605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55216054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41705605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.191331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29694 KachelY 29754 2.55216054 -1.41705605 146.228028 -81.191331
    Oben rechts KachelX + 1 29695 KachelY 29754 2.55235228 -1.41705605 146.239013 -81.191331
    Unten links KachelX 29694 KachelY + 1 29755 2.55216054 -1.41708541 146.228028 -81.193013
    Unten rechts KachelX + 1 29695 KachelY + 1 29755 2.55235228 -1.41708541 146.239013 -81.193013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41705605--1.41708541) × R
    2.93600000000893e-05 × 6371000     		dl = 187.052560000569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41705605--1.41708541) × R
    2.93600000000893e-05 × 6371000     		dr = 187.052560000569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55216054-2.55235228) × cos(-1.41705605) × R
    0.000191739999999996 × 0.153135356075029 × 6371000     		do = 187.066405290441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55216054-2.55235228) × cos(-1.41708541) × R
    0.000191739999999996 × 0.153106342303684 × 6371000     		du = 187.030962777044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41705605)-sin(-1.41708541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153135356075029-0.153106342303684)×R²
    abs(2.55235228-2.55216054)×2.90137713446215e-05×R²
    0.000191739999999996×2.90137713446215e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.90137713446215e-05×40589641000000     		ar = 34987.9351957866m²