Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29694 / 22805
↖ ↑ ↗
← N 47.912661°
W 16.885986°		 ← 409.39 m → N 47.912661°
W 16.880493°		 →
↑
409.46 m
↓
↑
409.46 m
↓
N 47.908978°
W 16.885986°		 ← 409.42 m →
167 636 m²		 N 47.908978°
W 16.880493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453102111816406 y=0.347984313964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453102111816406 × 216)
    floor (0.453102111816406 × 65536)
    floor (29694.5)     		tx = 29694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347984313964844 × 216)
    floor (0.347984313964844 × 65536)
    floor (22805.5)     		ty = 22805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29694 / 22805 ti = "16/29694/22805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29694/22805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29694 ÷ 216
    29694 ÷ 65536     		x = 0.453094482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22805 ÷ 216
    22805 ÷ 65536     		y = 0.347976684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.09381103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29471606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347976684570312 × 2 - 1) × π
    0.304046630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.955190661829239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29471606} λ = -0.29471606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.955190661829239))-π/2
    2×atan(2.5991660974428)-π/2
    2×1.20351500127413-π/2
    2.40703000254826-1.57079632675     		φ = 0.83623368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29471606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.885986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83623368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.912661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29694 KachelY 22805 -0.29471606 0.83623368 -16.885986 47.912661
    Oben rechts KachelX + 1 29695 KachelY 22805 -0.29462019 0.83623368 -16.880493 47.912661
    Unten links KachelX 29694 KachelY + 1 22806 -0.29471606 0.83616941 -16.885986 47.908978
    Unten rechts KachelX + 1 29695 KachelY + 1 22806 -0.29462019 0.83616941 -16.880493 47.908978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83623368-0.83616941) × R
    6.42699999999774e-05 × 6371000     		dl = 409.464169999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83623368-0.83616941) × R
    6.42699999999774e-05 × 6371000     		dr = 409.464169999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29471606--0.29462019) × cos(0.83623368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.670262649456376 × 6371000     		do = 409.388228975743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29471606--0.29462019) × cos(0.83616941) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.670310344379327 × 6371000     		du = 409.417360451372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83623368)-sin(0.83616941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670262649456376-0.670310344379327)×R²
    abs(-0.29462019--0.29471606)×4.76949229502033e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76949229502033e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76949229502033e-05×40589641000000     		ar = 167635.775590666m²