Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29694 / 22798
↖ ↑ ↗
← N 47.938427°
W 16.885986°		 ← 409.18 m → N 47.938427°
W 16.880493°		 →
↑
409.21 m
↓
↑
409.21 m
↓
N 47.934747°
W 16.885986°		 ← 409.21 m →
167 448 m²		 N 47.934747°
W 16.880493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453102111816406 y=0.347877502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453102111816406 × 216)
    floor (0.453102111816406 × 65536)
    floor (29694.5)     		tx = 29694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347877502441406 × 216)
    floor (0.347877502441406 × 65536)
    floor (22798.5)     		ty = 22798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29694 / 22798 ti = "16/29694/22798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29694/22798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29694 ÷ 216
    29694 ÷ 65536     		x = 0.453094482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22798 ÷ 216
    22798 ÷ 65536     		y = 0.347869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.09381103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29471606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347869873046875 × 2 - 1) × π
    0.30426025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.95586177842392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29471606} λ = -0.29471606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95586177842392))-π/2
    2×atan(2.60091102640303)-π/2
    2×1.20373985746138-π/2
    2.40747971492275-1.57079632675     		φ = 0.83668339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29471606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.885986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83668339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.938427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29694 KachelY 22798 -0.29471606 0.83668339 -16.885986 47.938427
    Oben rechts KachelX + 1 29695 KachelY 22798 -0.29462019 0.83668339 -16.880493 47.938427
    Unten links KachelX 29694 KachelY + 1 22799 -0.29471606 0.83661916 -16.885986 47.934747
    Unten rechts KachelX + 1 29695 KachelY + 1 22799 -0.29462019 0.83661916 -16.880493 47.934747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83668339-0.83661916) × R
    6.42299999999985e-05 × 6371000     		dl = 409.20932999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83668339-0.83661916) × R
    6.42299999999985e-05 × 6371000     		dr = 409.20932999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29471606--0.29462019) × cos(0.83668339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669928841122276 × 6371000     		do = 409.18434292775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29471606--0.29462019) × cos(0.83661916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669976525718309 × 6371000     		du = 409.213468095825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83668339)-sin(0.83661916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669928841122276-0.669976525718309)×R²
    abs(-0.29462019--0.29471606)×4.76845960337702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76845960337702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76845960337702e-05×40589641000000     		ar = 167448.010018824m²