Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29694 / 16754
↖ ↑ ↗
← N 65.689953°
W 16.885986°		 ← 251.45 m → N 65.689953°
W 16.880493°		 →
↑
251.46 m
↓
↑
251.46 m
↓
N 65.687692°
W 16.885986°		 ← 251.47 m →
63 232 m²		 N 65.687692°
W 16.880493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453102111816406 y=0.255653381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453102111816406 × 216)
    floor (0.453102111816406 × 65536)
    floor (29694.5)     		tx = 29694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255653381347656 × 216)
    floor (0.255653381347656 × 65536)
    floor (16754.5)     		ty = 16754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29694 / 16754 ti = "16/29694/16754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29694/16754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29694 ÷ 216
    29694 ÷ 65536     		x = 0.453094482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16754 ÷ 216
    16754 ÷ 65536     		y = 0.255645751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.09381103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29471606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255645751953125 × 2 - 1) × π
    0.48870849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.53532302103116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29471606} λ = -0.29471606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53532302103116))-π/2
    2×atan(4.64282501788262)-π/2
    2×1.35865114955684-π/2
    2.71730229911369-1.57079632675     		φ = 1.14650597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29471606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.885986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14650597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.689953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29694 KachelY 16754 -0.29471606 1.14650597 -16.885986 65.689953
    Oben rechts KachelX + 1 29695 KachelY 16754 -0.29462019 1.14650597 -16.880493 65.689953
    Unten links KachelX 29694 KachelY + 1 16755 -0.29471606 1.14646650 -16.885986 65.687692
    Unten rechts KachelX + 1 29695 KachelY + 1 16755 -0.29462019 1.14646650 -16.880493 65.687692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14650597-1.14646650) × R
    3.94699999999304e-05 × 6371000     		dl = 251.463369999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14650597-1.14646650) × R
    3.94699999999304e-05 × 6371000     		dr = 251.463369999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29471606--0.29462019) × cos(1.14650597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411674165530237 × 6371000     		do = 251.445545530819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29471606--0.29462019) × cos(1.14646650) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41171013544824 × 6371000     		du = 251.467515516823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14650597)-sin(1.14646650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411674165530237-0.41171013544824)×R²
    abs(-0.29462019--0.29471606)×3.59699180026984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59699180026984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59699180026984e-05×40589641000000     		ar = 63232.106582535m²