Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29693 / 30112
↖ ↑ ↗
← S 81.773643°
E146.217041°		 ← 174.80 m → S 81.773643°
E146.228028°		 →
↑
174.82 m
↓
↑
174.82 m
↓
S 81.775216°
E146.217041°		 ← 174.76 m →
30 555 m²		 S 81.775216°
E146.228028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906173706054688 y=0.918960571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906173706054688 × 215)
    floor (0.906173706054688 × 32768)
    floor (29693.5)     		tx = 29693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918960571289062 × 215)
    floor (0.918960571289062 × 32768)
    floor (30112.5)     		ty = 30112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29693 / 30112 ti = "15/29693/30112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29693/30112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29693 ÷ 215
    29693 ÷ 32768     		x = 0.906158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30112 ÷ 215
    30112 ÷ 32768     		y = 0.9189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906158447265625 × 2 - 1) × π
    0.81231689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55196879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9189453125 × 2 - 1) × π
    -0.837890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.63231103193652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55196879} λ = 2.55196879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63231103193652))-π/2
    2×atan(0.0719120789432043)-π/2
    2×0.0717885013810827-π/2
    0.143577002762165-1.57079632675     		φ = -1.42721932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55196879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.217041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42721932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.773643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29693 KachelY 30112 2.55196879 -1.42721932 146.217041 -81.773643
    Oben rechts KachelX + 1 29694 KachelY 30112 2.55216054 -1.42721932 146.228028 -81.773643
    Unten links KachelX 29693 KachelY + 1 30113 2.55196879 -1.42724676 146.217041 -81.775216
    Unten rechts KachelX + 1 29694 KachelY + 1 30113 2.55216054 -1.42724676 146.228028 -81.775216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42721932--1.42724676) × R
    2.74399999999897e-05 × 6371000     		dl = 174.820239999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42721932--1.42724676) × R
    2.74399999999897e-05 × 6371000     		dr = 174.820239999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55196879-2.55216054) × cos(-1.42721932) × R
    0.000191749999999935 × 0.143084223713226 × 6371000     		do = 174.797303743798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55196879-2.55216054) × cos(-1.42724676) × R
    0.000191749999999935 × 0.14305706600281 × 6371000     		du = 174.764126818814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42721932)-sin(-1.42724676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143084223713226-0.14305706600281)×R²
    abs(2.55216054-2.55196879)×2.71577104157816e-05×R²
    0.000191749999999935×2.71577104157816e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.71577104157816e-05×40589641000000     		ar = 30555.2065949943m²