Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29693 / 23556
↖ ↑ ↗
← N 74.772958°
W 98.445740°		 ← 80.20 m → N 74.772958°
W 98.442993°		 →
↑
80.21 m
↓
↑
80.21 m
↓
N 74.772236°
W 98.445740°		 ← 80.21 m →
6 433 m²		 N 74.772236°
W 98.442993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226543426513672 y=0.179721832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226543426513672 × 217)
    floor (0.226543426513672 × 131072)
    floor (29693.5)     		tx = 29693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179721832275391 × 217)
    floor (0.179721832275391 × 131072)
    floor (23556.5)     		ty = 23556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29693 / 23556 ti = "17/29693/23556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29693/23556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29693 ÷ 217
    29693 ÷ 131072     		x = 0.226539611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23556 ÷ 217
    23556 ÷ 131072     		y = 0.179718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226539611816406 × 2 - 1) × π
    -0.546920776367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.71820229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179718017578125 × 2 - 1) × π
    0.64056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.01239104604996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71820229} λ = -1.71820229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01239104604996))-π/2
    2×atan(7.48118383406632)-π/2
    2×1.43791531569102-π/2
    2.87583063138205-1.57079632675     		φ = 1.30503430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71820229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.445740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30503430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.772958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29693 KachelY 23556 -1.71820229 1.30503430 -98.445740 74.772958
    Oben rechts KachelX + 1 29694 KachelY 23556 -1.71815436 1.30503430 -98.442993 74.772958
    Unten links KachelX 29693 KachelY + 1 23557 -1.71820229 1.30502171 -98.445740 74.772236
    Unten rechts KachelX + 1 29694 KachelY + 1 23557 -1.71815436 1.30502171 -98.442993 74.772236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30503430-1.30502171) × R
    1.259000000009e-05 × 6371000     		dl = 80.2108900005736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30503430-1.30502171) × R
    1.259000000009e-05 × 6371000     		dr = 80.2108900005736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71820229--1.71815436) × cos(1.30503430) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.262644618380208 × 6371000     		do = 80.2016938372048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71820229--1.71815436) × cos(1.30502171) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.262656766357715 × 6371000     		du = 80.2054033682766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30503430)-sin(1.30502171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262644618380208-0.262656766357715)×R²
    abs(-1.71815436--1.71820229)×1.21479775067601e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.21479775067601e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.21479775067601e-05×40589641000000     		ar = 6433.19801460847m²