Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29692 / 43051
↖ ↑ ↗
← S 49.077464°
W 16.896973°		 ← 400.13 m → S 49.077464°
W 16.891479°		 →
↑
400.10 m
↓
↑
400.10 m
↓
S 49.081062°
W 16.896973°		 ← 400.10 m →
160 086 m²		 S 49.081062°
W 16.891479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453071594238281 y=0.656913757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453071594238281 × 216)
    floor (0.453071594238281 × 65536)
    floor (29692.5)     		tx = 29692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656913757324219 × 216)
    floor (0.656913757324219 × 65536)
    floor (43051.5)     		ty = 43051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29692 / 43051 ti = "16/29692/43051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29692/43051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29692 ÷ 216
    29692 ÷ 65536     		x = 0.45306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43051 ÷ 216
    43051 ÷ 65536     		y = 0.656906127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.0938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29490781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656906127929688 × 2 - 1) × π
    -0.313812255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.985870277586075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29490781} λ = -0.29490781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985870277586075))-π/2
    2×atan(0.373114372524957)-π/2
    2×0.357116493445904-π/2
    0.714232986891807-1.57079632675     		φ = -0.85656334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29490781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.896973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85656334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.077464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29692 KachelY 43051 -0.29490781 -0.85656334 -16.896973 -49.077464
    Oben rechts KachelX + 1 29693 KachelY 43051 -0.29481193 -0.85656334 -16.891479 -49.077464
    Unten links KachelX 29692 KachelY + 1 43052 -0.29490781 -0.85662614 -16.896973 -49.081062
    Unten rechts KachelX + 1 29693 KachelY + 1 43052 -0.29481193 -0.85662614 -16.891479 -49.081062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85656334--0.85662614) × R
    6.28000000000295e-05 × 6371000     		dl = 400.098800000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85656334--0.85662614) × R
    6.28000000000295e-05 × 6371000     		dr = 400.098800000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29490781--0.29481193) × cos(-0.85656334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.655038057413947 × 6371000     		do = 400.130966827604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29490781--0.29481193) × cos(-0.85662614) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.654990604700638 × 6371000     		du = 400.101980267449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85656334)-sin(-0.85662614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655038057413947-0.654990604700638)×R²
    abs(-0.29481193--0.29490781)×4.74527133088598e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74527133088598e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74527133088598e-05×40589641000000     		ar = 160086.120979587m²