Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29692 / 30111
↖ ↑ ↗
← S 81.772072°
E146.206055°		 ← 174.83 m → S 81.772072°
E146.217041°		 →
↑
174.76 m
↓
↑
174.76 m
↓
S 81.773643°
E146.206055°		 ← 174.80 m →
30 550 m²		 S 81.773643°
E146.217041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906143188476562 y=0.918930053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906143188476562 × 215)
    floor (0.906143188476562 × 32768)
    floor (29692.5)     		tx = 29692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918930053710938 × 215)
    floor (0.918930053710938 × 32768)
    floor (30111.5)     		ty = 30111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29692 / 30111 ti = "15/29692/30111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29692/30111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29692 ÷ 215
    29692 ÷ 32768     		x = 0.9061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30111 ÷ 215
    30111 ÷ 32768     		y = 0.918914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9061279296875 × 2 - 1) × π
    0.812255859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55177704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.83782958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.63211928433804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55177704} λ = 2.55177704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63211928433804))-π/2
    2×atan(0.0719258692337287)-π/2
    2×0.0718022207105861-π/2
    0.143604441421172-1.57079632675     		φ = -1.42719189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55177704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42719189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.772072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29692 KachelY 30111 2.55177704 -1.42719189 146.206055 -81.772072
    Oben rechts KachelX + 1 29693 KachelY 30111 2.55196879 -1.42719189 146.217041 -81.772072
    Unten links KachelX 29692 KachelY + 1 30112 2.55177704 -1.42721932 146.206055 -81.773643
    Unten rechts KachelX + 1 29693 KachelY + 1 30112 2.55196879 -1.42721932 146.217041 -81.773643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42719189--1.42721932) × R
    2.74300000000505e-05 × 6371000     		dl = 174.756530000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42719189--1.42721932) × R
    2.74300000000505e-05 × 6371000     		dr = 174.756530000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55177704-2.55196879) × cos(-1.42719189) × R
    0.000191749999999935 × 0.14311137141884 × 6371000     		do = 174.830468446524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55177704-2.55196879) × cos(-1.42721932) × R
    0.000191749999999935 × 0.143084223713226 × 6371000     		du = 174.797303743798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42719189)-sin(-1.42721932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14311137141884-0.143084223713226)×R²
    abs(2.55196879-2.55177704)×2.71477056141833e-05×R²
    0.000191749999999935×2.71477056141833e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.71477056141833e-05×40589641000000     		ar = 30549.8681311152m²