Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29691 / 43037
↖ ↑ ↗
← S 49.027063°
W 16.902466°		 ← 400.50 m → S 49.027063°
W 16.896973°		 →
↑
400.48 m
↓
↑
400.48 m
↓
S 49.030665°
W 16.902466°		 ← 400.47 m →
160 385 m²		 S 49.030665°
W 16.896973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453056335449219 y=0.656700134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453056335449219 × 216)
    floor (0.453056335449219 × 65536)
    floor (29691.5)     		tx = 29691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656700134277344 × 216)
    floor (0.656700134277344 × 65536)
    floor (43037.5)     		ty = 43037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29691 / 43037 ti = "16/29691/43037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29691/43037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29691 ÷ 216
    29691 ÷ 65536     		x = 0.453048706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43037 ÷ 216
    43037 ÷ 65536     		y = 0.656692504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453048706054688 × 2 - 1) × π
    -0.093902587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29500368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656692504882812 × 2 - 1) × π
    -0.313385009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.984528044396713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29500368} λ = -0.29500368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984528044396713))-π/2
    2×atan(0.373615515269162)-π/2
    2×0.357556323296662-π/2
    0.715112646593324-1.57079632675     		φ = -0.85568368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29500368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.902466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85568368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.027063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29691 KachelY 43037 -0.29500368 -0.85568368 -16.902466 -49.027063
    Oben rechts KachelX + 1 29692 KachelY 43037 -0.29490781 -0.85568368 -16.896973 -49.027063
    Unten links KachelX 29691 KachelY + 1 43038 -0.29500368 -0.85574654 -16.902466 -49.030665
    Unten rechts KachelX + 1 29692 KachelY + 1 43038 -0.29490781 -0.85574654 -16.896973 -49.030665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85568368--0.85574654) × R
    6.28600000001089e-05 × 6371000     		dl = 400.481060000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85568368--0.85574654) × R
    6.28600000001089e-05 × 6371000     		dr = 400.481060000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29500368--0.29490781) × cos(-0.85568368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655702471370768 × 6371000     		do = 400.495050272031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29500368--0.29490781) × cos(-0.85574654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655655009556905 × 6371000     		du = 400.466061176582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85568368)-sin(-0.85574654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655702471370768-0.655655009556905)×R²
    abs(-0.29490781--0.29500368)×4.74618138627259e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74618138627259e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74618138627259e-05×40589641000000     		ar = 160384.877519022m²