Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29691 / 29954
↖ ↑ ↗
← S 81.521512°
E146.195068°		 ← 180.12 m → S 81.521512°
E146.206055°		 →
↑
180.11 m
↓
↑
180.11 m
↓
S 81.523132°
E146.195068°		 ← 180.08 m →
32 437 m²		 S 81.523132°
E146.206055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906112670898438 y=0.914138793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906112670898438 × 215)
    floor (0.906112670898438 × 32768)
    floor (29691.5)     		tx = 29691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914138793945312 × 215)
    floor (0.914138793945312 × 32768)
    floor (29954.5)     		ty = 29954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29691 / 29954 ti = "15/29691/29954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29691/29954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29691 ÷ 215
    29691 ÷ 32768     		x = 0.906097412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29954 ÷ 215
    29954 ÷ 32768     		y = 0.91412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906097412109375 × 2 - 1) × π
    0.81219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55158529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.8282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60201491137665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55158529} λ = 2.55158529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60201491137665))-π/2
    2×atan(0.0741240742058498)-π/2
    2×0.07398876475449-π/2
    0.14797752950898-1.57079632675     		φ = -1.42281880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55158529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.195068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42281880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.521512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29691 KachelY 29954 2.55158529 -1.42281880 146.195068 -81.521512
    Oben rechts KachelX + 1 29692 KachelY 29954 2.55177704 -1.42281880 146.206055 -81.521512
    Unten links KachelX 29691 KachelY + 1 29955 2.55158529 -1.42284707 146.195068 -81.523132
    Unten rechts KachelX + 1 29692 KachelY + 1 29955 2.55177704 -1.42284707 146.206055 -81.523132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42281880--1.42284707) × R
    2.82700000000524e-05 × 6371000     		dl = 180.108170000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42281880--1.42284707) × R
    2.82700000000524e-05 × 6371000     		dr = 180.108170000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55158529-2.55177704) × cos(-1.42281880) × R
    0.000191750000000379 × 0.147438065195192 × 6371000     		do = 180.116127386861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55158529-2.55177704) × cos(-1.42284707) × R
    0.000191750000000379 × 0.147410104090908 × 6371000     		du = 180.081969004395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42281880)-sin(-1.42284707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147438065195192-0.147410104090908)×R²
    abs(2.55177704-2.55158529)×2.79611042836303e-05×R²
    0.000191750000000379×2.79611042836303e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.79611042836303e-05×40589641000000     		ar = 32437.3099921809m²