Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29691 / 23557
↖ ↑ ↗
← N 74.772236°
W 98.451233°		 ← 80.22 m → N 74.772236°
W 98.448486°		 →
↑
80.21 m
↓
↑
80.21 m
↓
N 74.771515°
W 98.451233°		 ← 80.23 m →
6 435 m²		 N 74.771515°
W 98.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226528167724609 y=0.179729461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226528167724609 × 217)
    floor (0.226528167724609 × 131072)
    floor (29691.5)     		tx = 29691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179729461669922 × 217)
    floor (0.179729461669922 × 131072)
    floor (23557.5)     		ty = 23557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29691 / 23557 ti = "17/29691/23557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29691/23557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29691 ÷ 217
    29691 ÷ 131072     		x = 0.226524353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23557 ÷ 217
    23557 ÷ 131072     		y = 0.179725646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226524353027344 × 2 - 1) × π
    -0.546951293945312 × 3.1415926535     		Λ = -1.71829817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179725646972656 × 2 - 1) × π
    0.640548706054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.01234310915034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71829817} λ = -1.71829817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01234310915034))-π/2
    2×atan(7.48082521790337)-π/2
    2×1.43790902036119-π/2
    2.87581804072237-1.57079632675     		φ = 1.30502171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71829817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.451233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30502171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.772236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29691 KachelY 23557 -1.71829817 1.30502171 -98.451233 74.772236
    Oben rechts KachelX + 1 29692 KachelY 23557 -1.71825023 1.30502171 -98.448486 74.772236
    Unten links KachelX 29691 KachelY + 1 23558 -1.71829817 1.30500912 -98.451233 74.771515
    Unten rechts KachelX + 1 29692 KachelY + 1 23558 -1.71825023 1.30500912 -98.448486 74.771515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30502171-1.30500912) × R
    1.2589999999868e-05 × 6371000     		dl = 80.2108899991589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30502171-1.30500912) × R
    1.2589999999868e-05 × 6371000     		dr = 80.2108899991589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71829817--1.71825023) × cos(1.30502171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.262656766357715 × 6371000     		do = 80.2221372307596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71829817--1.71825023) × cos(1.30500912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.262668914293588 × 6371000     		du = 80.2258475230632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30502171)-sin(1.30500912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262656766357715-0.262668914293588)×R²
    abs(-1.71825023--1.71829817)×1.21479358733412e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21479358733412e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21479358733412e-05×40589641000000     		ar = 6434.83782791961m²