Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29691 / 19442
↖ ↑ ↗
← N 58.853542°
W 16.902466°		 ← 315.92 m → N 58.853542°
W 16.896973°		 →
↑
315.94 m
↓
↑
315.94 m
↓
N 58.850700°
W 16.902466°		 ← 315.94 m →
99 814 m²		 N 58.850700°
W 16.896973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453056335449219 y=0.296669006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453056335449219 × 216)
    floor (0.453056335449219 × 65536)
    floor (29691.5)     		tx = 29691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296669006347656 × 216)
    floor (0.296669006347656 × 65536)
    floor (19442.5)     		ty = 19442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29691 / 19442 ti = "16/29691/19442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29691/19442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29691 ÷ 216
    29691 ÷ 65536     		x = 0.453048706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19442 ÷ 216
    19442 ÷ 65536     		y = 0.296661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453048706054688 × 2 - 1) × π
    -0.093902587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29500368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296661376953125 × 2 - 1) × π
    0.40667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27761424867374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29500368} λ = -0.29500368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27761424867374))-π/2
    2×atan(3.58806926513271)-π/2
    2×1.29899220192646-π/2
    2.59798440385292-1.57079632675     		φ = 1.02718808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29500368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.902466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02718808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.853542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29691 KachelY 19442 -0.29500368 1.02718808 -16.902466 58.853542
    Oben rechts KachelX + 1 29692 KachelY 19442 -0.29490781 1.02718808 -16.896973 58.853542
    Unten links KachelX 29691 KachelY + 1 19443 -0.29500368 1.02713849 -16.902466 58.850700
    Unten rechts KachelX + 1 29692 KachelY + 1 19443 -0.29490781 1.02713849 -16.896973 58.850700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02718808-1.02713849) × R
    4.95899999999327e-05 × 6371000     		dl = 315.937889999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02718808-1.02713849) × R
    4.95899999999327e-05 × 6371000     		dr = 315.937889999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29500368--0.29490781) × cos(1.02718808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.517227462659136 × 6371000     		do = 315.916208500325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29500368--0.29490781) × cos(1.02713849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.517269903524096 × 6371000     		du = 315.942130861591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02718808)-sin(1.02713849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517227462659136-0.517269903524096)×R²
    abs(-0.29490781--0.29500368)×4.24408649595254e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.24408649595254e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.24408649595254e-05×40589641000000     		ar = 99813.9952786483m²