Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29690 / 22827
↖ ↑ ↗
← N 47.831596°
W 16.907959°		 ← 410.03 m → N 47.831596°
W 16.902466°		 →
↑
410.10 m
↓
↑
410.10 m
↓
N 47.827908°
W 16.907959°		 ← 410.06 m →
168 159 m²		 N 47.827908°
W 16.902466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453041076660156 y=0.348320007324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453041076660156 × 216)
    floor (0.453041076660156 × 65536)
    floor (29690.5)     		tx = 29690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348320007324219 × 216)
    floor (0.348320007324219 × 65536)
    floor (22827.5)     		ty = 22827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29690 / 22827 ti = "16/29690/22827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29690/22827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29690 ÷ 216
    29690 ÷ 65536     		x = 0.453033447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22827 ÷ 216
    22827 ÷ 65536     		y = 0.348312377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.09393310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29509955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348312377929688 × 2 - 1) × π
    0.303375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.953081438245956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29509955} λ = -0.29509955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953081438245956))-π/2
    2×atan(2.59368965256686)-π/2
    2×1.20280758109307-π/2
    2.40561516218615-1.57079632675     		φ = 0.83481884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29509955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.907959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83481884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.831596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29690 KachelY 22827 -0.29509955 0.83481884 -16.907959 47.831596
    Oben rechts KachelX + 1 29691 KachelY 22827 -0.29500368 0.83481884 -16.902466 47.831596
    Unten links KachelX 29690 KachelY + 1 22828 -0.29509955 0.83475447 -16.907959 47.827908
    Unten rechts KachelX + 1 29691 KachelY + 1 22828 -0.29500368 0.83475447 -16.902466 47.827908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83481884-0.83475447) × R
    6.43699999999248e-05 × 6371000     		dl = 410.101269999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83481884-0.83475447) × R
    6.43699999999248e-05 × 6371000     		dr = 410.101269999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29509955--0.29500368) × cos(0.83481884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6713119649215 × 6371000     		do = 410.029138028713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29509955--0.29500368) × cos(0.83475447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671359672959571 × 6371000     		du = 410.058277514897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83481884)-sin(0.83475447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6713119649215-0.671359672959571)×R²
    abs(-0.29500368--0.29509955)×4.77080380707484e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77080380707484e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77080380707484e-05×40589641000000     		ar = 168159.4453705m²