Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29690 / 22794
↖ ↑ ↗
← N 47.953145°
W 16.907959°		 ← 409.07 m → N 47.953145°
W 16.902466°		 →
↑
409.15 m
↓
↑
409.15 m
↓
N 47.949466°
W 16.907959°		 ← 409.10 m →
167 374 m²		 N 47.949466°
W 16.902466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453041076660156 y=0.347816467285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453041076660156 × 216)
    floor (0.453041076660156 × 65536)
    floor (29690.5)     		tx = 29690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347816467285156 × 216)
    floor (0.347816467285156 × 65536)
    floor (22794.5)     		ty = 22794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29690 / 22794 ti = "16/29690/22794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29690/22794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29690 ÷ 216
    29690 ÷ 65536     		x = 0.453033447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22794 ÷ 216
    22794 ÷ 65536     		y = 0.347808837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.09393310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29509955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347808837890625 × 2 - 1) × π
    0.30438232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.95624527362088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29509955} λ = -0.29509955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95624527362088))-π/2
    2×atan(2.60190865456995)-π/2
    2×1.20386829642145-π/2
    2.4077365928429-1.57079632675     		φ = 0.83694027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29509955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.907959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83694027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.953145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29690 KachelY 22794 -0.29509955 0.83694027 -16.907959 47.953145
    Oben rechts KachelX + 1 29691 KachelY 22794 -0.29500368 0.83694027 -16.902466 47.953145
    Unten links KachelX 29690 KachelY + 1 22795 -0.29509955 0.83687605 -16.907959 47.949466
    Unten rechts KachelX + 1 29691 KachelY + 1 22795 -0.29500368 0.83687605 -16.902466 47.949466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83694027-0.83687605) × R
    6.42200000000592e-05 × 6371000     		dl = 409.145620000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83694027-0.83687605) × R
    6.42200000000592e-05 × 6371000     		dr = 409.145620000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29509955--0.29500368) × cos(0.83694027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669738104806137 × 6371000     		do = 409.067843518558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29509955--0.29500368) × cos(0.83687605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669785793028873 × 6371000     		du = 409.096970901778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83694027)-sin(0.83687605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669738104806137-0.669785793028873)×R²
    abs(-0.29500368--0.29509955)×4.76882227357089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76882227357089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76882227357089e-05×40589641000000     		ar = 167374.275186917m²