Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29689 / 23563
↖ ↑ ↗
← N 74.767907°
W 98.456726°		 ← 80.24 m → N 74.767907°
W 98.453979°		 →
↑
80.27 m
↓
↑
80.27 m
↓
N 74.767186°
W 98.456726°		 ← 80.25 m →
6 442 m²		 N 74.767186°
W 98.453979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226512908935547 y=0.179775238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226512908935547 × 217)
    floor (0.226512908935547 × 131072)
    floor (29689.5)     		tx = 29689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179775238037109 × 217)
    floor (0.179775238037109 × 131072)
    floor (23563.5)     		ty = 23563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29689 / 23563 ti = "17/29689/23563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29689/23563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29689 ÷ 217
    29689 ÷ 131072     		x = 0.226509094238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23563 ÷ 217
    23563 ÷ 131072     		y = 0.179771423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226509094238281 × 2 - 1) × π
    -0.546981811523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.71839404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179771423339844 × 2 - 1) × π
    0.640457153320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.01205548775262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71839404} λ = -1.71839404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01205548775262))-π/2
    2×atan(7.47867388189806)-π/2
    2×1.43787124226674-π/2
    2.87574248453347-1.57079632675     		φ = 1.30494616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71839404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.456726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30494616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.767907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29689 KachelY 23563 -1.71839404 1.30494616 -98.456726 74.767907
    Oben rechts KachelX + 1 29690 KachelY 23563 -1.71834610 1.30494616 -98.453979 74.767907
    Unten links KachelX 29689 KachelY + 1 23564 -1.71839404 1.30493356 -98.456726 74.767186
    Unten rechts KachelX + 1 29690 KachelY + 1 23564 -1.71834610 1.30493356 -98.453979 74.767186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30494616-1.30493356) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dl = 80.2746000001864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30494616-1.30493356) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dr = 80.2746000001864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71839404--1.71834610) × cos(1.30494616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.262729662997085 × 6371000     		do = 80.2444017407825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71839404--1.71834610) × cos(1.30493356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.262741820331747 × 6371000     		du = 80.2481149037182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30494616)-sin(1.30493356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262729662997085-0.262741820331747)×R²
    abs(-1.71834610--1.71839404)×1.21573346624215e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21573346624215e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21573346624215e-05×40589641000000     		ar = 6441.73628830005m²