Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29689 / 22795
↖ ↑ ↗
← N 47.949466°
W 16.913452°		 ← 409.14 m → N 47.949466°
W 16.907959°		 →
↑
409.08 m
↓
↑
409.08 m
↓
N 47.945787°
W 16.913452°		 ← 409.17 m →
167 378 m²		 N 47.945787°
W 16.907959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453025817871094 y=0.347831726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453025817871094 × 216)
    floor (0.453025817871094 × 65536)
    floor (29689.5)     		tx = 29689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347831726074219 × 216)
    floor (0.347831726074219 × 65536)
    floor (22795.5)     		ty = 22795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29689 / 22795 ti = "16/29689/22795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29689/22795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29689 ÷ 216
    29689 ÷ 65536     		x = 0.453018188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22795 ÷ 216
    22795 ÷ 65536     		y = 0.347824096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453018188476562 × 2 - 1) × π
    -0.093963623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29519543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347824096679688 × 2 - 1) × π
    0.304351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.95614939982164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29519543} λ = -0.29519543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95614939982164))-π/2
    2×atan(2.60165921165967)-π/2
    2×1.20383619011013-π/2
    2.40767238022026-1.57079632675     		φ = 0.83687605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29519543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.913452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83687605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.949466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29689 KachelY 22795 -0.29519543 0.83687605 -16.913452 47.949466
    Oben rechts KachelX + 1 29690 KachelY 22795 -0.29509955 0.83687605 -16.907959 47.949466
    Unten links KachelX 29689 KachelY + 1 22796 -0.29519543 0.83681184 -16.913452 47.945787
    Unten rechts KachelX + 1 29690 KachelY + 1 22796 -0.29509955 0.83681184 -16.907959 47.945787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83687605-0.83681184) × R
    6.4210000000009e-05 × 6371000     		dl = 409.081910000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83687605-0.83681184) × R
    6.4210000000009e-05 × 6371000     		dr = 409.081910000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29519543--0.29509955) × cos(0.83687605) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.669785793028873 × 6371000     		do = 409.139642954629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29519543--0.29509955) × cos(0.83681184) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.669833471064158 × 6371000     		du = 409.168767153047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83687605)-sin(0.83681184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669785793028873-0.669833471064158)×R²
    abs(-0.29509955--0.29519543)×4.76780352858253e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76780352858253e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76780352858253e-05×40589641000000     		ar = 167377.583745198m²