Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29688 / 30102
↖ ↑ ↗
← S 81.757909°
E146.162109°		 ← 175.13 m → S 81.757909°
E146.173096°		 →
↑
175.14 m
↓
↑
175.14 m
↓
S 81.759484°
E146.162109°		 ← 175.10 m →
30 669 m²		 S 81.759484°
E146.173096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906021118164062 y=0.918655395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906021118164062 × 215)
    floor (0.906021118164062 × 32768)
    floor (29688.5)     		tx = 29688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918655395507812 × 215)
    floor (0.918655395507812 × 32768)
    floor (30102.5)     		ty = 30102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29688 / 30102 ti = "15/29688/30102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29688/30102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29688 ÷ 215
    29688 ÷ 32768     		x = 0.906005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30102 ÷ 215
    30102 ÷ 32768     		y = 0.91864013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906005859375 × 2 - 1) × π
    0.81201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55101005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.8372802734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.63039355595172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55101005} λ = 2.55101005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63039355595172))-π/2
    2×atan(0.0720501009122116)-π/2
    2×0.0719258119059699-π/2
    0.14385162381194-1.57079632675     		φ = -1.42694470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55101005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42694470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.757909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29688 KachelY 30102 2.55101005 -1.42694470 146.162109 -81.757909
    Oben rechts KachelX + 1 29689 KachelY 30102 2.55120180 -1.42694470 146.173096 -81.757909
    Unten links KachelX 29688 KachelY + 1 30103 2.55101005 -1.42697219 146.162109 -81.759484
    Unten rechts KachelX + 1 29689 KachelY + 1 30103 2.55120180 -1.42697219 146.173096 -81.759484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42694470--1.42697219) × R
    2.74900000001299e-05 × 6371000     		dl = 175.138790000828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42694470--1.42697219) × R
    2.74900000001299e-05 × 6371000     		dr = 175.138790000828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55101005-2.55120180) × cos(-1.42694470) × R
    0.000191749999999935 × 0.143356012616206 × 6371000     		do = 175.129331735393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55101005-2.55120180) × cos(-1.42697219) × R
    0.000191749999999935 × 0.143328806501177 × 6371000     		du = 175.096095677434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42694470)-sin(-1.42697219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143356012616206-0.143328806501177)×R²
    abs(2.55120180-2.55101005)×2.72061150286829e-05×R²
    0.000191749999999935×2.72061150286829e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.72061150286829e-05×40589641000000     		ar = 30669.028794167m²