Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29687 / 29945
↖ ↑ ↗
← S 81.506921°
E146.151123°		 ← 180.42 m → S 81.506921°
E146.162109°		 →
↑
180.43 m
↓
↑
180.43 m
↓
S 81.508544°
E146.151123°		 ← 180.39 m →
32 550 m²		 S 81.508544°
E146.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905990600585938 y=0.913864135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905990600585938 × 215)
    floor (0.905990600585938 × 32768)
    floor (29687.5)     		tx = 29687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913864135742188 × 215)
    floor (0.913864135742188 × 32768)
    floor (29945.5)     		ty = 29945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29687 / 29945 ti = "15/29687/29945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29687/29945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29687 ÷ 215
    29687 ÷ 32768     		x = 0.905975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29945 ÷ 215
    29945 ÷ 32768     		y = 0.913848876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905975341796875 × 2 - 1) × π
    0.81195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55081830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.82769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60028918299033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55081830} λ = 2.55081830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60028918299033))-π/2
    2×atan(0.0742521026642152)-π/2
    2×0.074116092417467-π/2
    0.148232184834934-1.57079632675     		φ = -1.42256414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55081830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.151123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42256414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.506921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29687 KachelY 29945 2.55081830 -1.42256414 146.151123 -81.506921
    Oben rechts KachelX + 1 29688 KachelY 29945 2.55101005 -1.42256414 146.162109 -81.506921
    Unten links KachelX 29687 KachelY + 1 29946 2.55081830 -1.42259246 146.151123 -81.508544
    Unten rechts KachelX + 1 29688 KachelY + 1 29946 2.55101005 -1.42259246 146.162109 -81.508544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42256414--1.42259246) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dl = 180.426719999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42256414--1.42259246) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dr = 180.426719999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55081830-2.55101005) × cos(-1.42256414) × R
    0.000191749999999935 × 0.147689937306404 × 6371000     		do = 180.423824243482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55081830-2.55101005) × cos(-1.42259246) × R
    0.000191749999999935 × 0.147661927812474 × 6371000     		du = 180.389606746324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42256414)-sin(-1.42259246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147689937306404-0.147661927812474)×R²
    abs(2.55101005-2.55081830)×2.80094939302811e-05×R²
    0.000191749999999935×2.80094939302811e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.80094939302811e-05×40589641000000     		ar = 32550.1919441932m²